Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 108 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,3 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,3 sa = −7 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 55 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 26 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 55 mv_0B = 26 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 30 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 30° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 30 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3,5 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 8 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 8 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 32 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 25 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 100 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 100 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,9 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 2000 kg піднімається схилом 6° зі сталою швидкістю 72 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 750 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 2000 kgθ = 6°F_r = 750 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,15). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 1 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2,5 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgμ = 0,15d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,6 kg ударяється об стіну зі швидкістю 28 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 13 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,6 kgv_in = 28 m/sv_out = 13 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,3 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,3 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,6 kg на пружині з k = 160 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 1,6 kgk = 160 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 60 дБ на відстані 2 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 4 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 60 dBr₁ = 2 mr₂ = 4 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 30 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 15 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 103,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 30·1,3 = 39 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64,29 m

Разом

d = 39 + 64,29 = 103,3 m

Відповідь

d = 103,3 m

2.Кінематика

Відповідь: y = 33,05 m

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

55 − ½g·t² = 26·t − ½g·t² → t = 55/26 = 2,115 s

Висота зустрічі

y = 26·2,115 − ½·9,81·2,115² = 33,05 m

Відповідь

y = 33,05 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 172,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 147,1 + 25,49 = 172,6 N

Відповідь

F = 172,6 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 38,31 N

Сили вздовж нитки

m₂·g = 78,48 N

m₁·g·sin θ = 14,51 N

μ·m₁·g·cos θ = 6,224 N

Прискорення системи

a = (78,48 − 14,51 − 6,224)/11,5 = 5,021 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9,81 − 5,021) = 38,31 N

Відповідь

T = 38,31 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 9,322 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 25° = 29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 25° = 13,52 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 13,52²/(2·9,81) = 9,322 m

Відповідь

H = 9,322 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 101,8 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 20° = 23,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 20° = 8,551 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 8,551·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,551 + √(73,11 + 1079))/9,81 = 4,332 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 23,49·4,332 = 101,8 m

Відповідь

x = 101,8 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 17,16 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·100) = 17,16 m/s

Відповідь

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,971 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,9) = 2,971 m/s

Відповідь

v_min = 2,971 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 56,02 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 6° = 2051 N

F = 2051 + 750 = 2801 N

Потужність

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 2801·20 = 56017 W = 56,02 kW

Відповідь

P = 56,02 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 1,43 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 9,81·2,5 = 24,53 J

μ·m₁g·d = 0,15·49,05·2,5 = 18,39 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 6,131 → v = √(2·6,131/6) = 1,43 m/s

Відповідь

v = 1,43 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 2 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 2,5)/(3,5 + 2,5)·12 = 2 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2,5)·12 = 14 m/s

Відповідь

v′₁ = 2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 24,6 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,6·(13 + 28) = 24,6 N·s

Відповідь

J = 24,6 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,315 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,3/2π)² = 1,315 m

Відповідь

L = 1,315 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,2 m/s

Кутова частота

ω = √(160/1,6) = 10 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,12·10 = 1,2 m/s

Відповідь

v_max = 1,2 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 53,98 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (2/4)² = 0,25

Новий рівень

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0,25) = 53,98 dB

Відповідь

β₂ = 53,98 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f″ = 32744 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Частота біля автомобіля

f′ = 30000·(343 + 15)/343 = 31312 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 15) = 32744 Hz

Відповідь

f″ = 32744 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics