Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 120 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 120 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 15 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 120 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 15 kgF = 120 Nθ = 30°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 35° зі швидкістю 6 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 6 m/sθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 12 m/s під кутом 70° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 60 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 12 m/sθ = 70°h = 60 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 250 m має нахил полотна 20°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 250 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 16 m вздовж площини.

θ = 40°μ = 0,2d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 2000 N/m біля підніжжя схилу 35° стискають на 5 cm бруском масою 1 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,25. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 1 kgk = 2000 N/mx = 5 cmθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,4 kg ударяється об стіну зі швидкістю 13 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 8 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,4 kgv_in = 13 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 0,4 kg на пружині з k = 420 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 15 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 6 cm від положення рівноваги.

m = 0,4 kgk = 420 N/mA = 15 cmx = 6 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 120 N/m відтягують на 13 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 13 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 1 см стоїть на відстані 18 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 8 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 1 cmd_o = 18 cmf = −8 cm

h_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 40 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 12 см і лінза 2 з f₂ = 20 см. Предмет стоїть на відстані 18 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 12 cmf₂ = 20 cms = 40 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 111,1 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·5) = 111,1 m

Відповідь

s = 111,1 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,799 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,799 s

Відповідь

t = 3,799 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,604 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 120·sin 30° = 87,15 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 103,9 − 34,86

a = 69,06/15 = 4,604 m/s²

Відповідь

a = 4,604 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 2,799 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 35° + 0,1·cos 35°) = 6,43 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 6²/(2·6,43) = 2,799 m

Відповідь

d = 2,799 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 19,99 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 25° = 14,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 25° = 6,762 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·6,762/9,81 = 1,379 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 14,5·1,379 = 19,99 m

Відповідь

x = 19,99 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 66,48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 12·sin 70° = 11,28 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 11,28²/(2·9,81) = 6,481 m

Висота над землею

H = 60 + 6,481 = 66,48 m

Відповідь

H = 66,48 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 29,88 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(250·9,81·tan 20°) = 29,88 m/s

Відповідь

v = 29,88 m/s

(107,6 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,836 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,5) = 3,836 m/s

Відповідь

v_min = 3,836 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 12,4 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,6428 − 0,2·0,766)) = 12,4 m/s

Відповідь

v = 12,4 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 0,3274 m

Енергія пружини

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·2000·0,05² = 2,5 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 2,5/(9,81·(0,5736 + 0,25·0,8192)) = 0,3274 m

Відповідь

d = 0,3274 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 11,65 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4,5 − 4)/(4,5 + 4)·11 = 0,6471 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 4)·11 = 11,65 m/s

Відповідь

v′₂ = 11,65 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 8,4 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,4·(8 + 13) = 8,4 N·s

Відповідь

J = 8,4 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 4,455 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(420/0,4) = 32,4 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 32,4·√(0,15² − 0,06²) = 4,455 m/s

Відповідь

v = 4,455 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,358 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,13·10,44 = 1,358 m/s

Відповідь

v_max = 1,358 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = 0,3077 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/18

d_i = −5,538 cm

Збільшення і висота

m = −(−5,538)/18 = 0,3077

h_i = 0,3077·1 = 0,3077 cm

Відповідь

h_i = 0,3077 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = −5 cm

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/12 − 1/18 → d_i1 = 36 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 40 − 36 = 4 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/20 − 1/4 → d_i2 = −5 cm

Відповідь

d_i2 = −5 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics