Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,25 m/s². Знайдіть його швидкість v через 600 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 35 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 16 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 20 m/s, і він має впасти на відстані 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 20 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 27 m/s під кутом 65° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 10 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 27 m/sθ = 65°h_roof = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 60 m має нахил полотна 20°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 60 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,8 kg на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 4,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,8 kgr = 0,8 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 18 m вздовж площини.

θ = 35°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 2 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgμ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 18 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 9 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 9 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 54 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 9 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 18 kgu = 9 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 54 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 22 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 4 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,15 kgv_in = 22 m/sv_out = 4 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,8 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,3 kg на пружині з k = 150 N/m відтягують на 14 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 1,3 kgk = 150 N/mA = 14 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 300 Гц рухається зі швидкістю 30 м/с від нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 20 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 10 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).

f = 20 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 62,45 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·600) = 62,45 m/s

Відповідь

v = 62,45 m/s

(224,8 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 48,05 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Висота над землею

h_max = 35 + 13,05 = 48,05 m

Відповідь

h_max = 48,05 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,781 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Відповідь

a = 2,781 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,066 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 2,453)/4 = 3,066 m/s²

Відповідь

a = 3,066 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 29,57 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/20² = 0,8584

Кут

2θ = 59,13° → θ = 29,57°

Відповідь

θ = 29,57°

Інший розв’язок 90° − θ = 60,43°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 51,8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 11,41 m/s, v_y = 24,47 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

10 = 24,47·t − 4,905·t²

t = (24,47 + √(24,47² − 2·9,81·10))/9,81 = 4,54 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 11,41·4,54 = 51,8 m

Відповідь

x = 51,8 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 14,64 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(60·9,81·tan 20°) = 14,64 m/s

Відповідь

v = 14,64 m/s

(52,69 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 28,1 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·4,5²/0,8 = 7,848 + 20,25 = 28,1 N

Відповідь

T = 28,1 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 12,62 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·18·(0,5736 − 0,15·0,8192)) = 12,62 m/s

Відповідь

v = 12,62 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,801 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 19,62·3 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,3·39,24·3 = 35,32 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 23,54 → v = √(2·23,54/6) = 2,801 m/s

Відповідь

v = 2,801 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −36 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 18·9 = 162 kg·m/s

Імпульс після удару

162 = 9·54 + 9·v′₂

v′₂ = (162 − 486)/9 = −36 m/s

Відповідь

v′₂ = −36 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 3,9 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,15·(4 + 22) = 3,9 N·s

Відповідь

J = 3,9 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,794 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,8/9,81) = 1,794 s

Відповідь

T = 1,794 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 16,15 m/s²

Кутова частота

ω = √(150/1,3) = 10,74 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,14·10,74² = 16,15 m/s²

Відповідь

a_max = 16,15 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 275,9 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 30)

f′ = 275,9 Hz

Відповідь

f′ = 275,9 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f″ = 21201 Hz

Частота біля автомобіля

f′ = 20000·(343 + 10)/343 = 20583 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 10) = 21201 Hz

Відповідь

f″ = 21201 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics