Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 34 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 6 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 34 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 20 m/s² протягом 2 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Через скільки часу після старту вона впаде на землю? Знайдіть t.

a = 20 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 20 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 25° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 20 kgθ = 25°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 40 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 39 m/s під кутом 55° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 9 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 39 m/sθ = 55°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 70 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 70 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 34,2 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 9,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 4 kgh = 34,2 mR = 9,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 10 m вздовж площини.

θ = 45°μ = 0,2d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 15 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 15° і його тягнуть угору сталою силою 65 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 3 m угору схилом.

m = 15 kgF = 65 Nθ = 15°μ = 0,1d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 9 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 30 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 5 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 63 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 4 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 9 kgu = 30 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 63 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,4 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 1 kgL = 1,4 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,7 kg на пружині з k = 170 N/m відтягують на 5 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,65 s (зі знаком).

m = 1,7 kgk = 170 N/mA = 5 cmt = 0,65 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 400 N/m відтягують на 5 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 1,1 kgk = 400 N/mA = 5 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 300 Гц рухається зі швидкістю 10 м/с від нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 300 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 500 лініями на міліметр показує максимум порядку 3 спектральної лінії під кутом 79,7° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 500 mm⁻¹θ₃ = 79,7°m = 3

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 385,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·34/6 = 11,33 s

Шлях

d = v·t = 34·11,33 = 385,3 m

Відповідь

d = 385,3 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 68 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 11,06 s

Активна ділянка

v₁ = 20·2 = 40 m/s

h₁ = ½·20·2² = 40 m

Вільний політ до землі

Розв’яжіть −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² і візьміть додатний корінь.

t₂ = (40 + √(40² + 2·9,81·40))/9,81 = 9,055 s

t = 2 + 9,055 = 11,06 s

Відповідь

t = 11,06 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 154 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 82,92 + 71,13 = 154 N

Відповідь

F = 154 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,886 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 5,886)/6,5 = 5,886 m/s²

Відповідь

a = 5,886 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 141,2 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 30° = 34,64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 30° = 20 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·20/9,81 = 4,077 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 34,64·4,077 = 141,2 m

Відповідь

x = 141,2 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 139,1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 22,37 m/s, v_y = 31,95 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

9 = 31,95·t − 4,905·t²

t = (31,95 + √(31,95² − 2·9,81·9))/9,81 = 6,218 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 22,37·6,218 = 139,1 m

Відповідь

x = 139,1 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 21,92 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·70) = 21,92 m/s

Відповідь

v_max = 21,92 m/s (78,93 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 321,8 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·34,2 = 671 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 4·671/9,5 + 39,24 = 321,8 N

Відповідь

N_bottom = 321,8 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 10,54 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·10·(0,7071 − 0,2·0,7071)) = 10,54 m/s

Відповідь

v = 10,54 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,254 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 38,09 N

μ·mg·cos θ = 14,21 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (65 − 52,3)·3 = 38,1 J

v = √(2·38,1/15) = 2,254 m/s

Відповідь

v = 2,254 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −11,25 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 9·30 = 270 kg·m/s

Імпульс після удару

270 = 5·63 + 4·v′₂

v′₂ = (270 − 315)/4 = −11,25 m/s

Відповідь

v′₂ = −11,25 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 108,6 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 25°) = 0,1312 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1312) = 1,604 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,015·1,604/0,015 = 108,6 m/s

Відповідь

v = 108,6 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = 4,883 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(170/1,7) = 10 rad/s

ω·t = 10·0,65 = 6,5 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 5·cos(6,5) = 4,883 cm

Відповідь

x = 4,883 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 0,5 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(400/1,1) = 19,07 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·400·0,05² = 0,5 J

Відповідь

E = 0,5 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 291,5 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 291,5 Hz

Відповідь

f′ = 291,5 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 655,9 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 79,7°/3 = 655,9 nm

Відповідь

λ = 655,9 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics