Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 100 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 7 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 10 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 60° над горизонталлю, і він падає на відстані 150 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 60°R = 150 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 26 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,1 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.

r = 3,1 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,9 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 3 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 17,5 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 5 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 2 kgh = 17,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,7 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 3 kgL = 1,7 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,4 kg на пружині з k = 80 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 13 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 8 cm від положення рівноваги.

m = 2,4 kgk = 80 N/mA = 13 cmx = 8 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 4 s і амплітудою 13 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 13 cm до зміщення 7,8 cm?

T = 4 sA = 13 cmx = 7,8 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Одна машина дає рівень звуку 80 дБ у певній точці. Знайдіть рівень β у цій точці, коли одночасно працюють 4 однакових машин (некогерентні джерела).

β₁ = 80 dBn = 4

β = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 532 нм падає під прямим кутом на ґратку з 300 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 300 mm⁻¹λ = 532 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 128,6 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·3) = 128,6 m

Відповідь

s = 128,6 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,288 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,288 s

Відповідь

t = 3,288 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,433 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Відповідь

a = 2,433 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 13,38 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 9,81)/5,5 = 0,8918 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·0,8918 + 9,81 = 13,38 N

Відповідь

T = 13,38 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 41,22 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·150/sin 120°) = 41,22 m/s

Відповідь

v₀ = 41,22 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 112,9 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 25° = 23,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 25° = 10,99 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 60 + 10,99·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,99 + √(120,7 + 1177))/9,81 = 4,793 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 23,56·4,793 = 112,9 m

Відповідь

x = 112,9 m

7.Рух по колу

Відповідь: ω = 3,248 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,3·3,1)) = 3,248 rad/s

Відповідь

ω = 3,248 rad/s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,971 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,9) = 2,971 m/s

Відповідь

v_min = 2,971 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 41,48 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,9397 = 92,18 N

F = μN = 0,15·92,18 = 13,83 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 13,83·3 = 41,48 J

Відповідь

W_f = 41,48 J

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 39,24 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(17,5 − 10) = 147,2 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·147,2/5 − 19,62 = 39,24 N

Відповідь

N = 39,24 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 8,909 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 2)/(3,5 + 2)·7 = 1,909 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2)·7 = 8,909 m/s

Відповідь

v′₂ = 8,909 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 161 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 15°) = 0,05793 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,05793) = 1,066 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,02·1,066/0,02 = 161 m/s

Відповідь

v = 161 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,5916 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(80/2,4) = 5,774 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 5,774·√(0,13² − 0,08²) = 0,5916 m/s

Відповідь

v = 0,5916 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,5903 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/4 = 1,571 rad/s

Виразіть час

0,6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,6) = 0,9273 rad

t = 0,9273/1,571 = 0,5903 s

Відповідь

t = 0,5903 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 86,02 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Загальна інтенсивність

I = 4·I₁

Рівень

β = 80 + 10·log₁₀(4) = 86,02 dB

Відповідь

β = 86,02 dB

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 28,61 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/300 mm = 3,333 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·532 × 10⁻⁹/(3,333 × 10⁻⁶) = 0,4788

θ = 28,61°

Відповідь

θ₃ = 28,61°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics