Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 28 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 3,5 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.

v_car = 28 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 17 m/s з краю даху на висоті 15 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 7 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 7 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на похилій площині з кутом 30° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 32 m/s, і він має впасти на відстані 85 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 32 m/sR = 85 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 33 m/s під кутом 30° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 25 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 33 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 45 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 45 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,5 kg на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 9 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,5 kgr = 0,8 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2,5 kg ковзає 7 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,2. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2,5 kgθ = 20°μ = 0,2d = 7 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2,5 kgh = 3 mL = 1,5 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 2,5 kgL = 0,6 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,7 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,8 kg на пружині з k = 440 N/m відтягують на 11 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 3,8 kgk = 440 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,8 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₄ для моди «гармоніка номер 4».

v = 343 m/sn = 4L = 0,8 m

f₄ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дифракційна ґратка має 800 ліній на міліметр. Світло з довжиною хвилі 500 нм падає на неї під прямим кутом. Який найвищий порядок m_max світлого максимуму можна побачити?

N = 800 mm⁻¹λ = 500 nm

m_max =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 16 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/3,5 = 16 s

Відповідь

t = 16 s

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 56 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,195 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−15 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 15 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·15))/9,81 = 4,195 s

Відповідь

t = 4,195 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,206 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Відповідь

a = 3,206 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 22,45 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 39,24 N

m₁·g·sin θ = 9,81 N

μ·m₁·g·cos θ = 4,248 N

Прискорення системи

a = (39,24 − 9,81 − 4,248)/6 = 4,197 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 4·(9,81 − 4,197) = 22,45 N

Відповідь

T = 22,45 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 27,26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·85/32² = 0,8143

Кут

2θ = 54,52° → θ = 27,26°

Відповідь

θ = 27,26°

Інший розв’язок 90° − θ = 62,74°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 39,74 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 33·cos 30° = 28,58 m/s

v_y0 = 33·sin 30° = 16,5 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(16,5² + 2·9,81·25) = 27,62 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(28,58² + 27,62²) = 39,74 m/s

Відповідь

v = 39,74 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 11,51 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·45) = 11,51 m/s

Відповідь

v_max = 11,51 m/s (41,43 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 166,6 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·9²/0,8 = 14,71 + 151,9 = 166,6 N

Відповідь

T = 166,6 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 32,26 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 24,53·0,9397 = 23,05 N

F = μN = 0,2·23,05 = 4,609 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,609·7 = 32,26 J

Відповідь

W_f = 32,26 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,278 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(3 − 0,2·1,5) = 66,22 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,7) = 7,278 m/s

Відповідь

v = 7,278 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 5,556 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·5 = 0,5556 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·5 = 5,556 m/s

Відповідь

v′₂ = 5,556 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 264,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 20°) = 0,03618 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,03618) = 0,8426 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,508·0,8426/0,008 = 264,1 m/s

Відповідь

v = 264,1 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,7181 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Відповідь

L = 0,7181 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,184 m/s

Кутова частота

ω = √(440/3,8) = 10,76 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,11·10,76 = 1,184 m/s

Відповідь

v_max = 1,184 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₄ = 857,5 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,8/4 = 0,4 m

Частота

f = v/λ = 343/0,4 = 857,5 Hz

Відповідь

f₄ = 857,5 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m_max = 2

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/800 mm = 1,25 µm

Найвищий порядок

m ≤ d/λ = 1,25 µm/0,5 µm = 2,5 → m_max = 2

Відповідь

m_max = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics