Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 19 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 2 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.

v_car = 19 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 14 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 12 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 12 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на похилій площині з кутом 30° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 7,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7 kgm₂ = 7,5 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 20° над горизонталлю, і він падає на відстані 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 20°R = 40 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 27 m/s під кутом 50° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 2 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 27 m/sθ = 50°h_roof = 2 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 370 m зі швидкістю 100 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 370 mv = 100 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 11,4 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 3 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 0,5 kgh = 11,4 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 13 m вздовж площини.

θ = 40°μ = 0,3d = 13 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 10,4 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 4 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 5 kgh = 10,4 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 8 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 1 kgh = 8 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 30° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 4 kgL = 1,6 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,1 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,8 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 330 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільше видовження x_max пружини в cm.

m = 0,8 kgk = 330 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,6 м, хвилі поширюються зі швидкістю 150 м/с. Знайдіть частоту f₁ для моди «основна частота (перша гармоніка)».

v = 150 m/sn = 1L = 0,6 m

f₁ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм падає на дві щілини на відстані 0,25 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2 м. Знайдіть відстань y₃ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 3.

λ = 550 nmd = 0,25 mmL = 2 mm = 3

y₃ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 19 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/2 = 19 s

Відповідь

t = 19 s

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 38 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 39,99 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

Висота над землею

h_max = 30 + 9,99 = 39,99 m

Відповідь

h_max = 39,99 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,355 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Відповідь

a = 3,355 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,681 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 34,33 N

μ·m₁·g·cos θ = 14,87 N

Прискорення системи

a = (73,58 − 34,33 − 14,87)/14,5 = 1,681 m/s²

Відповідь

a = 1,681 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 24,71 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·40/sin 40°) = 24,71 m/s

Відповідь

v₀ = 24,71 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 71,46 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 17,36 m/s, v_y = 20,68 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

2 = 20,68·t − 4,905·t²

t = (20,68 + √(20,68² − 2·9,81·2))/9,81 = 4,118 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 17,36·4,118 = 71,46 m

Відповідь

x = 71,46 m

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 12 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 27,78²/(370·9,81) = 0,2126

θ = 12°

Відповідь

θ = 12°

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 42,18 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·11,4 = 223,7 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 0,5·223,7/3 + 4,905 = 42,18 N

Відповідь

N_bottom = 42,18 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 10,26 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·13·(0,6428 − 0,3·0,766)) = 10,26 m/s

Відповідь

v = 10,26 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 9,81 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(10,4 − 8) = 47,09 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·47,09/4 − 49,05 = 9,81 N

Відповідь

N = 9,81 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 157,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,08) = 1,253 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 1)·1,253/0,008 = 157,9 m/s

Відповідь

v = 157,9 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 548,9 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,6·(1 − cos 30°) = 0,2144 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,2144) = 2,051 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,015·2,051/0,015 = 548,9 m/s

Відповідь

v = 548,9 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,907 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,1/9,81) = 2,907 s

Відповідь

T = 2,907 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: x_max = 4,756 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 0,8·9,81/330 = 0,02378 m = A

Найнижча точка

x_max = 2A = 0,04756 m = 4,756 cm

Відповідь

x_max = 4,756 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₁ = 125 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,6/1 = 1,2 m

Частота

f = v/λ = 150/1,2 = 125 Hz

Відповідь

f₁ = 125 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₃ = 13,2 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2/(0,25 × 10⁻³) = 4,4 mm

Смуга номер 3

y₃ = 3·4,4 = 13,2 mm

Відповідь

y₃ = 13,2 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics