Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 36 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 25 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 20° над горизонталлю із силою 130 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 25 kgF = 130 Nθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 30 m/s під кутом 25° над горизонталлю в бік стіни на відстані 28 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 30 m/sθ = 25°x = 28 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 13 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 40 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 85 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 85 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,4 kg на легкій нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,4 kgr = 1,5 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1800 kg піднімається схилом 8° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 550 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1800 kgθ = 8°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 1,5 mL = 1,5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 700 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1200 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 700 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1000 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1000 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 19 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1000 kgd = 19 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,1 m має період 3,42 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,1 mT = 3,42 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 380 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 18 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 7 cm від положення рівноваги.

k = 380 N/mA = 18 cmx = 7 cm

K = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 4 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 4 cmf = −15 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 450 нм падає на дві щілини на відстані 0,3 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2 м. Знайдіть відстань y₂ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 2.

λ = 450 nmd = 0,3 mmL = 2 mm = 2

y₂ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 12,5 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12,5 m

Відповідь

s = 12,5 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,92 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−40 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 40 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,92 s

Відповідь

t = 4,92 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,28 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 130·sin 20° = 200,8 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 122,2 − 40,16

a = 82/25 = 3,28 m/s²

Відповідь

a = 3,28 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,885 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 9,81)/8,5 = 2,885 m/s²

Відповідь

a = 2,885 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 7,855 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 30·cos 25° = 27,19 m/s

t = x/v_x = 28/27,19 = 1,03 s

Висота в цей момент

y = 12,68·1,03 − ½·9,81·1,03² = 7,855 m

Відповідь

y = 7,855 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 30,88 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 13·cos 55° = 7,456 m/s

v_y0 = 13·sin 55° = 10,65 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(10,65² + 2·9,81·40) = 29,97 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(7,456² + 29,97²) = 30,88 m/s

Відповідь

v = 30,88 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 25,83 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·85) = 25,83 m/s

Відповідь

v_max = 25,83 m/s (92,98 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 1,98 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,5 = 22,14 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,4·22,14/1,5 − 0,4·9,81 = 1,98 N

Відповідь

T_top = 1,98 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 75,19 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 8° = 2458 N

F = 2458 + 550 = 3008 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 3008·25 = 75188 W = 75,19 kW

Відповідь

P = 75,19 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 16,27 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(1,5 − 0,1·1,5) = 13,24 J

Найбільше стиснення

½kx² = 13,24 → x = √(2·13,24/1000) = 0,1627 m = 16,27 cm

Відповідь

x = 16,27 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 63,16 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·11/1900 = 4,053 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·700·11² = 42350 J

K_after = ½·1900·4,053² = 15603 J

Втрачена частка

ΔK/K = 26747/42350 = 63,16 %

Відповідь

ΔK/K = 63,16 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 32,31 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·19) = 16,15 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2000·16,15/1000 = 32,31 m/s

Відповідь

v₁ = 32,31 m/s

(116,3 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,713 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,1/3,42² = 3,713 m/s²

Відповідь

g = 3,713 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 5,225 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·380·0,18² = 6,156 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·380·0,07² = 0,931 J

Кінетична енергія

K = 6,156 − 0,931 = 5,225 J

Відповідь

K = 5,225 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −3,158 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−15) − 1/4

d_i = −3,158 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −3,158 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₂ = 6 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·2/(0,3 × 10⁻³) = 3 mm

Смуга номер 2

y₂ = 2·3 = 6 mm

Відповідь

y₂ = 6 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics