Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 240 km/h, а довжина злітної смуги 900 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 2,3 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 2,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 45 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 30° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 45 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на похилій площині з кутом 20° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 9,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 9,5 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 34 m/s під кутом 40° над горизонталлю в бік стіни на відстані 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 34 m/sθ = 40°x = 35 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 40 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 85 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 85 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,5 kg на легкій нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,5 kgr = 1,5 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 1500 N/m. На неї кладуть кульку 0,15 kg, стискають пружину на 8 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,15 kgk = 1500 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 18 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 1,5 kgh = 18 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,8 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 4 kgL = 1,8 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,5 m має період 3,99 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,5 mT = 3,99 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 10 g, що летить зі швидкістю 100 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 900 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 10 gv = 100 m/sM = 2,5 kgk = 900 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 600 Гц рухається зі швидкістю 30 м/с до нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 500 нм падає на дві щілини на відстані 0,15 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 3 м. Знайдіть відстань y₂ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 2.

λ = 500 nmd = 0,15 mmL = 3 mm = 2

y₂ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 2,469 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 240/3,6 = 66,67 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 66,67²/(2·900) = 2,469 m/s²

Відповідь

a = 2,469 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: d = 24,37 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(2,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 788,9 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·788,9))/(2·4,905) = 2,229 s

Глибина

d = ½·9,81·2,229² = 24,37 m

Відповідь

d = 24,37 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 278,1 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 220,7 + 57,35 = 278,1 N

Відповідь

F = 278,1 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 53,89 N

Сили вздовж нитки

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 18,45 N

μ·m₁·g·cos θ = 12,68 N

Прискорення системи

a = (93,2 − 18,45 − 12,68)/15 = 4,138 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 9,5·(9,81 − 4,138) = 53,89 N

Відповідь

T = 53,89 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 20,51 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 34·cos 40° = 26,05 m/s

t = x/v_x = 35/26,05 = 1,344 s

Висота в цей момент

y = 21,85·1,344 − ½·9,81·1,344² = 20,51 m

Відповідь

y = 20,51 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,151 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 50° = 8,999 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 50° = 10,72 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 40 + 10,72·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,72 + √(115 + 784,8))/9,81 = 4,151 s

Відповідь

t = 4,151 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 15,82 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·85) = 15,82 m/s

Відповідь

v_max = 15,82 m/s (56,94 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 7,425 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,5 = 22,14 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,5·22,14/1,5 − 1,5·9,81 = 7,425 N

Відповідь

T_top = 7,425 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 3,262 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·1500·0,08² = 4,8 J

Висота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 4,8/1,472 = 3,262 m

Відповідь

h = 3,262 m

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,241 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(2 − 0,15·4) = 13,73 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,4) = 5,241 m/s

Відповідь

v = 5,241 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 236,8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,18) = 1,879 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 1,5)·1,879/0,012 = 236,8 m/s

Відповідь

v = 236,8 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 585,2 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 20°) = 0,1086 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1086) = 1,459 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,01·1,459/0,01 = 585,2 m/s

Відповідь

v = 585,2 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,72 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/3,99² = 3,72 m/s²

Відповідь

g = 3,72 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 2,104 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,01·100/2,51 = 0,3984 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(900/2,51) = 18,94 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,3984/18,94 = 0,02104 m = 2,104 cm

Відповідь

A = 2,104 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 657,5 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 0)/(343 − 30)

f′ = 657,5 Hz

Відповідь

f′ = 657,5 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₂ = 20 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·3/(0,15 × 10⁻³) = 10 mm

Смуга номер 2

y₂ = 2·10 = 20 mm

Відповідь

y₂ = 20 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics