Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 31 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 4,5 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 31 m/sa_police = 4,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 8 m/s з краю даху на висоті 15 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 18 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 18 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 140 N тягне передній брусок масою 8 kg; брусок масою 6 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 6 kgm₂ = 8 kgF = 140 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 28 m/s, і він має впасти на відстані 50 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 28 m/sR = 50 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 17 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 170 m зі швидкістю 120 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 170 mv = 120 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 4,5 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 4,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 500 N/m. На неї кладуть кульку 0,5 kg, стискають пружину на 10 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,5 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 14 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 5 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 10 kgh = 14 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1700 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 500 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1700 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 900 kg, що їде на схід зі швидкістю 19 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1900 kg, що їде на північ зі швидкістю 24 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 900 kgv₁ = 19 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 24 m/s (N)

θ = °

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,5 kg на пружині з k = 70 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 18 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.

m = 3,5 kgk = 70 N/mA = 18 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,9 kg на пружині з k = 140 N/m відтягують на 20 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,9 kgk = 140 N/mA = 20 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Спостерігач рухається зі швидкістю 20 м/с від нерухомого джерела частотою 1000 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 633 нм падає на дві щілини на відстані 0,5 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,2 м. Знайдіть відстань Δy між сусідніми світлими смугами.

λ = 633 nmd = 0,5 mmL = 1,2 m

Δy = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 427,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/4,5 = 13,78 s

Шлях

d = v·t = 31·13,78 = 427,1 m

Відповідь

d = 427,1 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 62 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,745 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−15 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 15 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·15))/9,81 = 2,745 s

Відповідь

t = 2,745 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,627 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Відповідь

a = 5,627 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 60 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 20,6)/14 = 8,528 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(8,528 + 1,472) = 60 N

Відповідь

T = 60 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 19,36 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·50/28² = 0,6256

Кут

2θ = 38,73° → θ = 19,36°

Відповідь

θ = 19,36°

Інший розв’язок 90° − θ = 70,64°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,635 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 50° = 10,93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 50° = 13,02 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 13,02·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,02 + √(169,6 + 882,9))/9,81 = 4,635 s

Відповідь

t = 4,635 s

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 33,67 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 33,33²/(170·9,81) = 0,6663

θ = 33,67°

Відповідь

θ = 33,67°

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 11,25 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·4,5 = 11,25 m

Відповідь

h_min = 11,25 m

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,5097 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·500·0,1² = 2,5 J

Висота

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

h = ½kx²/(mg) = 2,5/4,905 = 0,5097 m

Відповідь

h = 0,5097 m

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 58,86 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(14 − 10) = 78,48 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·78,48/5 − 98,1 = 58,86 N

Відповідь

N = 58,86 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 22,73 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·11/2200 = 8,5 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1700·11² = 102850 J

K_after = ½·2200·8,5² = 79475 J

Втрачена частка

ΔK/K = 23375/102850 = 22,73 %

Відповідь

ΔK/K = 22,73 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 69,44 °

Складові імпульсу

p_x = 900·19 = 17100 kg·m/s

p_y = 1900·24 = 45600 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 2,667 → θ = 69,44°

Відповідь

θ = 69,44°

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,7937 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(70/3,5) = 4,472 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 4,472·√(0,18² − 0,03²) = 0,7937 m/s

Відповідь

v = 0,7937 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 9,655 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(140/2,9) = 6,948 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,2·6,948² = 9,655 m/s²

Відповідь

a_max = 9,655 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 941,7 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 941,7 Hz

Відповідь

f′ = 941,7 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: Δy = 1,519 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·1,2/(0,5 × 10⁻³) = 1,519 mm

Відповідь

Δy = 1,519 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics