Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 50 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,6 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 50 km/ht_r = 0,6 sa = −5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2,5 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 8 s і нарешті гальмує з прискоренням 3,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 8 sa₃ = −3,5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 20 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 35° над горизонталлю із силою 80 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 20 kgF = 80 Nθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 130 N тягне передній брусок масою 3 kg; брусок масою 1 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 1 kgm₂ = 3 kgF = 130 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 15 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 15°h = 15 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1300 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 18 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 100 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1300 kgv = 18 m/sr = 100 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 290 m має нахил полотна 15°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу швидкість v_min, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вниз по нахилу.

r = 290 mθ = 15°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 2 kg висить на легкій нитці завдовжки 0,8 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 70° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 2 kgL = 0,8 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2 kgh = 2,5 mL = 2,5 mμ = 0,2k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1,5 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1600 kg, що їде на схід зі швидкістю 8 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1000 kg, що їде на північ зі швидкістю 15 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть швидкість v′ уламків одразу після зіткнення.

m₁ = 1600 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 0,4 kg на пружині з k = 240 N/m відтягують на 5 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,8 s (зі знаком).

m = 0,4 kgk = 240 N/mA = 5 cmt = 0,8 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 120 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 1 kgk = 120 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Спостерігач рухається зі швидкістю 10 м/с від нерухомого джерела частотою 500 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 656 нм падає під прямим кутом на ґратку з 200 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 200 mm⁻¹λ = 656 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 27,62 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 13,89·0,6 = 8,333 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5) = 19,29 m

Разом

d = 8,333 + 19,29 = 27,62 m

Відповідь

d = 27,62 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 14,86 s

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 10/3,5 = 2,857 s

Загальний час

t = 4 + 8 + 2,857 = 14,86 s

Відповідь

t = 14,86 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,022 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 80·sin 35° = 150,3 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 65,53 − 45,09

a = 20,44/20 = 1,022 m/s²

Відповідь

a = 1,022 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 32,5 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 9,81)/4 = 30,05 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(30,05 + 2,453) = 32,5 N

Відповідь

T = 32,5 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 28,3 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10,99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23,56 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 23,56²/(2·9,81) = 28,3 m

Відповідь

H = 28,3 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 45,48 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 15° = 19,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 15° = 5,176 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 15 + 5,176·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,176 + √(26,79 + 294,3))/9,81 = 2,354 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 19,32·2,354 = 45,48 m

Відповідь

x = 45,48 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 8541 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1300·9,81 − 1300·18²/100 = 12753 − 4212 = 8541 N

Відповідь

N = 8541 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 21,57 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вгору схилом.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(290·9,81·0,1622/0,9918) = 21,57 m/s

Відповідь

v_min = 21,57 m/s

(77,66 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 45,44 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 70°) = 10,33 m²/s²

Сили внизу

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·10,33/0,8 = 45,44 N

Відповідь

T = 45,44 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 45,44 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,264 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(2,5 − 0,2·2,5) = 39,24 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Відповідь

v = 6,264 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 9 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1,5 − 2,5)/(1,5 + 2,5)·12 = −3 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 2,5)·12 = 9 m/s

Відповідь

v′₂ = 9 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′ = 7,584 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 1600·8 = 12800 kg·m/s

p_y = 1000·15 = 15000 kg·m/s

Швидкість уламків

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 19719/2600 = 7,584 m/s

Відповідь

v′ = 7,584 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = 3,671 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(240/0,4) = 24,49 rad/s

ω·t = 24,49·0,8 = 19,6 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 5·cos(19,6) = 3,671 cm

Відповідь

x = 3,671 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,8955 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1·9,81/120 = 0,08175 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(120/1) = 10,95 rad/s

v_max = A·ω = 0,08175·10,95 = 0,8955 m/s

Відповідь

v_max = 0,8955 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 485,4 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 485,4 Hz

Відповідь

f′ = 485,4 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 23,18 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·656 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,3936

θ = 23,18°

Відповідь

θ₃ = 23,18°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics