Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 72 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,9 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 72 km/ht_r = 0,9 sa = −5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 16 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 9 m/s і зупиняється, пройшовши 17 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 9 m/sd = 17 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 70 N тягне передній брусок масою 1 kg; брусок масою 7 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 7 kgm₂ = 1 kgF = 70 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 18 m/s під кутом 55° над горизонталлю в бік стіни на відстані 9 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 18 m/sθ = 55°x = 9 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 16 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 50 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 16 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 35 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 35 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,7 kg на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 9 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,7 kgr = 0,8 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 6 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 35°μ = 0,3d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0,1k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 24 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 1,5 kgh = 24 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,8 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 10° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 3,5 kgL = 0,8 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1 m має період 3,26 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1 mT = 3,26 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 3,5 s і амплітудою 19 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 14,25 cm?

T = 3,5 sA = 19 cmx = 14,25 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «флінтове скло» (n = 1,62) до плоскої межі із середовищем «акрил» (n = 1,49). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 1,62n₂ = 1,49

θ_c = °

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 450 нм падає під прямим кутом на ґратку з 1200 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₁ максимуму порядку 1.

N = 1200 mm⁻¹λ = 450 nmm = 1

θ₁ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 58 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 20·0,9 = 18 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·5) = 40 m

Разом

d = 18 + 40 = 58 m

Відповідь

d = 58 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 33,05 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Висота над землею

h_max = 20 + 13,05 = 33,05 m

Відповідь

h_max = 33,05 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2428

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·17) = 2,382 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,382/9,81 = 0,2428

Відповідь

μ = 0,2428

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,788 m/s²

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 15,7)/8 = 6,788 m/s²

Відповідь

a = 6,788 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 9,126 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 18·cos 55° = 10,32 m/s

t = x/v_x = 9/10,32 = 0,8717 s

Висота в цей момент

y = 14,74·0,8717 − ½·9,81·0,8717² = 9,126 m

Відповідь

y = 9,126 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 71,24 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 16·cos 45° = 11,31 m/s

v_y0 = 16·sin 45° = 11,31 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(11,31² + 2·9,81·50) = 33,3 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 33,3/11,31 → α = 71,24°

Відповідь

α = 71,24°

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 11,72 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·35) = 11,72 m/s

Відповідь

v_max = 11,72 m/s (42,19 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 188,8 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,7·9,81 + 1,7·9²/0,8 = 16,68 + 172,1 = 188,8 N

Відповідь

T = 188,8 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 28,93 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,8192 = 16,07 N

F = μN = 0,3·16,07 = 4,822 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,822·6 = 28,93 J

Відповідь

W_f = 28,93 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 19,31 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(4 − 0,1·2) = 74,56 J

Найбільше стиснення

½kx² = 74,56 → x = √(2·74,56/4000) = 0,1931 m = 19,31 cm

Відповідь

x = 19,31 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 273,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,24) = 2,17 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 1,5)·2,17/0,012 = 273,4 m/s

Відповідь

v = 273,4 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 114,4 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 10°) = 0,01215 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,01215) = 0,4883 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,515·0,4883/0,015 = 114,4 m/s

Відповідь

v = 114,4 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,715 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/3,26² = 3,715 m/s²

Відповідь

g = 3,715 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,4724 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/3,5 = 1,795 rad/s

Виразіть час

0,75 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,75) = 0,8481 rad

t = 0,8481/1,795 = 0,4724 s

Відповідь

t = 0,4724 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 66,89 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,49/1,62 = 0,9198

Критичний кут

θc = arcsin(0,9198) = 66,89°

Відповідь

θ_c = 66,89°

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₁ = 32,68 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 1·450 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,54

θ = 32,68°

Відповідь

θ₁ = 32,68°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics