Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 32 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 5,5 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 32 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 24 m/s² протягом 2 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 24 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 20 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 15° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 20 kgθ = 15°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 40 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 34 m/sθ = 15°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,3 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 25° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кульки.

L = 0,3 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 210 m має нахил полотна 25°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 210 mθ = 25°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 40 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 40 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 25° і його тягнуть угору сталою силою 55 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 6 m угору схилом.

m = 5 kgF = 55 Nθ = 25°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1500 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1600 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1500 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 900 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1500 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 25 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,75. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 900 kgm₂ = 1500 kgd = 25 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,9 kg на пружині з k = 280 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 16 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.

m = 1,9 kgk = 280 N/mA = 16 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 0,6 s і амплітудою 19 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 19 cm до зміщення 17,1 cm?

T = 0,6 sA = 19 cmx = 17,1 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 15 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 30 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 15 cmf = 30 cm

m =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 1200 лініями на міліметр показує максимум порядку 1 спектральної лінії під кутом 29,1° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 29,1°m = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 372,4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·32/5,5 = 11,64 s

Шлях

d = v·t = 32·11,64 = 372,4 m

Відповідь

d = 372,4 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 64 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 165,4 m

Активна ділянка

v₁ = 24·2 = 48 m/s

h₁ = ½·24·2² = 48 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 48²/(2·9,81) = 117,4 m

h_max = 48 + 117,4 = 165,4 m

Відповідь

h_max = 165,4 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 69,73 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 50,78 + 18,95 = 69,73 N

Відповідь

F = 69,73 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,256 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 6,867)/10 = 2,256 m/s²

Відповідь

a = 2,256 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 7,062 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 60° = 20 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 60° = 34,64 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·34,64/9,81 = 7,062 s

Відповідь

t = 7,062 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 109,2 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 15° = 32,84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 15° = 8,8 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 8,8·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,8 + √(77,44 + 490,5))/9,81 = 3,326 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 32,84·3,326 = 109,2 m

Відповідь

x = 109,2 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 0,7616 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,3·sin 25° = 0,1268 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,1268·9,81·tan 25°) = 0,7616 m/s

Відповідь

v = 0,7616 m/s

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 34,98 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(210·9,81·0,5132/0,864) = 34,98 m/s

Відповідь

v_max = 34,98 m/s

(125,9 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 7,865 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 40/3,6 = 11,11 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11,11²/(2·0,8·9,81) = 7,865 m

Відповідь

d = 7,865 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,139 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 20,73 N

μ·mg·cos θ = 6,668 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (55 − 27,4)·6 = 165,6 J

v = √(2·165,6/5) = 8,139 m/s

Відповідь

v = 8,139 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 51,61 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·6/3100 = 2,903 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1500·6² = 27000 J

K_after = ½·3100·2,903² = 13065 J

Втрачена частка

ΔK/K = 13935/27000 = 51,61 %

Відповідь

ΔK/K = 51,61 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 51,15 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·25) = 19,18 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·19,18/900 = 51,15 m/s

Відповідь

v₁ = 51,15 m/s

(184,1 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,908 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(280/1,9) = 12,14 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 12,14·√(0,16² − 0,03²) = 1,908 m/s

Відповідь

v = 1,908 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,04307 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/0,6 = 10,47 rad/s

Виразіть час

0,9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,9) = 0,451 rad

t = 0,451/10,47 = 0,04307 s

Відповідь

t = 0,04307 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 2

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/15

d_i = −30 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −(−30)/15 = 2

Відповідь

m = 2

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 405,3 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 8,333 × 10⁻⁷·sin 29,1°/1 = 405,3 nm

Відповідь

λ = 405,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics