Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 120 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.
Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 9 s, потім їде зі сталою швидкістю 20 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.
Ящик масою 50 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 35° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.
Брусок масою 4,5 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 9,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.
М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 40 m/s, і він має впасти на відстані 100 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.
М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 20 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
Маленька кулька на нитці завдовжки 1,3 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 30° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.
Кульку масою 1,5 kg на нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.
Автомобіль, що рухається зі швидкістю 30 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Знайдіть гальмівний шлях d.
Брусок масою 5 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 20° і його тягнуть угору сталою силою 45 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 6 m угору схилом.
Автомобіль масою 1900 kg, що рухається зі швидкістю 18 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1700 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?
Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.
Вантаж масою 2,2 kg на пружині з k = 390 N/m відтягують на 7 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 0,95 s (зі знаком).
Вантаж масою 4 kg на пружині з k = 330 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість vmax.
Світло всередині прозорого блока повністю відбивається на межі із середовищем «вода» (n = 1,33) для будь-якого кута падіння понад 24,4°. Знайдіть показник заломлення n1 блока.
Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,55 і оболонку з n₂ = 1,5. Знайдіть найбільший кут θa до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.
Відповідь: t = 11,11 s
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: s = 477 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: F = 321,5 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Стала швидкість: сили зрівноважені.
Відповідь: T = 48,05 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Відповідь: θ = 18,91 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Інший розв’язок 90° − θ = 71,09°.
Відповідь: x = 37,91 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: T = 2,129 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).
Відповідь: T = 68,29 N
Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.
До центра (угору) — додатний напрямок.
Відповідь: d = 5,899 m
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.
Відповідь: v = 6,754 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: ΔK = 145350 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.
Відповідь: v = 246,1 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: v = −0,07661 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: vmax = 1,635 m/s
Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².
Відповідь: n1 = 3,22
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
Відповідь: θa = 22,99 °
Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θc = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/do + 1/di зі збільшенням m = −di/do. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; di > 0 для дійсного зображення, di < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics