Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 72 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 15 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 17 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 15 mv_0B = 17 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 25 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 100 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 25 kgF = 100 Nθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 12 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 22 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,7 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 25° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,7 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 100 m має нахил полотна 25°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 100 mθ = 25°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 500 N/m. На неї кладуть кульку 0,1 kg, стискають пружину на 4 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,1 kgk = 500 N/mx = 4 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 3000 N/m біля підніжжя схилу 30° стискають на 8 cm бруском масою 3 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,25. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 3 kgk = 3000 N/mx = 8 cmθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 14 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 26 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 7 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 67 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 7 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 14 kgu = 26 m/sm₁ = 7 kgv′₁ = 67 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1200 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1900 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 11,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1900 kgd = 11,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,3 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,3 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2 kg на пружині з k = 350 N/m відтягують на 5 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 2 kgk = 350 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 2 см стоїть на відстані 15 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 8 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 2 cmd_o = 15 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм падає на дві щілини на відстані 0,15 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2 м. Знайдіть відстань y₄ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 4.

λ = 550 nmd = 0,15 mmL = 2 mm = 4

y₄ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 25 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

Відповідь

s = 25 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 0,8824 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

15 − ½g·t² = 17·t − ½g·t² → t = 15/17 = 0,8824 s

Відповідь

t = 0,8824 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,512 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 100·sin 30° = 195,3 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 86,6 − 48,81

a = 37,79/25 = 1,512 m/s²

Відповідь

a = 1,512 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 37,59 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 9,32)/15 = 2,976 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·2,976 + 9,32 = 37,59 N

Відповідь

T = 37,59 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 1,311 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 25° = 10,88 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 25° = 5,071 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 5,071²/(2·9,81) = 1,311 m

Відповідь

H = 1,311 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 57,69 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 60° = 11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 60° = 19,05 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 35 + 19,05·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,05 + √(363 + 686,7))/9,81 = 5,245 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 11·5,245 = 57,69 m

Відповідь

x = 57,69 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,598 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,7·sin 25° = 0,2958 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,2958·9,81·tan 25°) = 1,163 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,2958/1,163 = 1,598 s

Відповідь

T = 1,598 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 32,32 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(100·9,81·0,7851/0,7373) = 32,32 m/s

Відповідь

v_max = 32,32 m/s

(116,4 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,4077 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 4 cm = 0,04 m

½kx² = ½·500·0,04² = 0,4 J

Висота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,4/0,981 = 0,4077 m

Відповідь

h = 0,4077 m

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 0,4553 m

Енергія пружини

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·3000·0,08² = 9,6 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9,6/(29,43·(0,5 + 0,25·0,866)) = 0,4553 m

Відповідь

d = 0,4553 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −15 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 14·26 = 364 kg·m/s

Імпульс після удару

364 = 7·67 + 7·v′₂

v′₂ = (364 − 469)/7 = −15 m/s

Відповідь

v′₂ = −15 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 34,71 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·11,5) = 13,44 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3100·13,44/1200 = 34,71 m/s

Відповідь

v₁ = 34,71 m/s

(124,9 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,4199 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,3/2π)² = 0,4199 m

Відповідь

L = 0,4199 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,6614 m/s

Кутова частота

ω = √(350/2) = 13,23 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,05·13,23 = 0,6614 m/s

Відповідь

v_max = 0,6614 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = −2,286 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/15

d_i = 17,14 cm

Збільшення і висота

m = −17,14/15 = −1,143

h_i = −1,143·2 = −2,286 cm

Відповідь

h_i = −2,286 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₄ = 29,33 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2/(0,15 × 10⁻³) = 7,333 mm

Смуга номер 4

y₄ = 4·7,333 = 29,33 mm

Відповідь

y₄ = 29,33 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics