Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 108 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,1 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 1,5 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 1,5 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 5 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7,5 kg на похилій площині з кутом 40° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 7 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 7 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 23 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 8 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 23 m/sθ = 45°h_roof = 8 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 135 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 135 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,5 kg на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 5,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,5 kgr = 0,8 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2,5 kg ковзає 6 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,35. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,35d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 15 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 30° і його тягнуть угору сталою силою 120 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 10 m угору схилом.

m = 15 kgF = 120 Nθ = 30°μ = 0,2d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1000 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1900 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 8,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1900 kgd = 8,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 2 m має період 2,98 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 2 mT = 2,98 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,5 kg на пружині з k = 130 N/m відтягують на 9 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 1,5 kgk = 130 N/mA = 9 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 18 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 5 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 18 cmf = 5 cm

m =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 650 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,12 мм. Знайдіть кут θ₃ темної смуги номер 3 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 650 nma = 0,12 mmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 133 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 30·1,1 = 33 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·4,5) = 100 m

Разом

d = 33 + 100 = 133 m

Відповідь

d = 133 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 10,59 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(1,5 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 514,5 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·514,5))/(2·4,905) = 1,469 s

Глибина

d = ½·9,81·1,469² = 10,59 m

Відповідь

d = 10,59 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,479 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

Відповідь

a = 1,479 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,474 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 47,29 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (68,67 − 47,29 − 0)/14,5 = 1,474 m/s²

Відповідь

a = 1,474 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 31,24 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 65° = 8,452 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 65° = 18,13 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·18,13/9,81 = 3,695 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 8,452·3,695 = 31,24 m

Відповідь

x = 31,24 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 44,15 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 16,26 m/s, v_y = 16,26 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

8 = 16,26·t − 4,905·t²

t = (16,26 + √(16,26² − 2·9,81·8))/9,81 = 2,715 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 16,26·2,715 = 44,15 m

Відповідь

x = 44,15 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 25,73 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·135) = 25,73 m/s

Відповідь

v_max = 25,73 m/s (92,64 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 71,43 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·5,5²/0,8 = 14,71 + 56,72 = 71,43 N

Відповідь

T = 71,43 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 42,19 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,35·20,09 = 7,031 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 7,031·6 = 42,19 J

Відповідь

W_f = 42,19 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,284 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 73,57 N

μ·mg·cos θ = 25,49 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (120 − 99,06)·10 = 209,4 J

v = √(2·209,4/15) = 5,284 m/s

Відповідь

v = 5,284 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 20,57 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 0,5)/(3 + 0,5)·12 = 8,571 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0,5)·12 = 20,57 m/s

Відповідь

v′₂ = 20,57 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 31,33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·8,5) = 10,8 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·10,8/1000 = 31,33 m/s

Відповідь

v₁ = 31,33 m/s

(112,8 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 8,891 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/2,98² = 8,891 m/s²

Відповідь

g = 8,891 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,8379 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(130/1,5) = 9,309 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,09·9,309 = 0,8379 m/s

Відповідь

v_max = 0,8379 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,3846

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/18

d_i = 6,923 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −6,923/18 = −0,3846

Відповідь

m = −0,3846

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 0,9311 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,01625

θ = 0,9311°

Відповідь

θ₃ = 0,9311°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics