Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 90 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 90 km/ht_r = 1 sa = −7,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 15 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 5,5 m/s і зупиняється, пройшовши 3,9 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 5,5 m/sd = 3,9 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 1 kgm₂ = 2 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 16 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 35 m/s під кутом 35° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 35 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1400 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 24 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 110 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1400 kgv = 24 m/sr = 110 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 1 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 1 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 100 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 100 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 9 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 3 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 2 kgh = 9 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 4,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 10 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 4,5 kgh = 10 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 900 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 20 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 800 kgm₂ = 900 kgd = 20 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,4 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,5 kg на пружині з k = 370 N/m відтягують на 13 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 2,5 kgk = 370 N/mA = 13 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 75 дБ на відстані 5 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 20 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 75 dBr₁ = 5 mr₂ = 20 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 1200 лініями на міліметр показує максимум порядку 1 спектральної лінії під кутом 36,9° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 1200 mm⁻¹θ₁ = 36,9°m = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 66,67 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 25·1 = 25 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·7,5) = 41,67 m

Разом

d = 25 + 41,67 = 66,67 m

Відповідь

d = 66,67 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,621 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,621 s

Відповідь

t = 3,621 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,3953

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 5,5²/(2·3,9) = 3,878 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,878/9,81 = 0,3953

Відповідь

μ = 0,3953

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 7,848 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 1,962)/3 = 5,886 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·5,886 + 1,962 = 7,848 N

Відповідь

T = 7,848 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 2,33 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 25° = 14,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 25° = 6,762 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 6,762²/(2·9,81) = 2,33 m

Відповідь

H = 2,33 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 25,54 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 35·sin 35° = 20,08 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 20,08²/(2·9,81) = 20,54 m

Висота над землею

H = 5 + 20,54 = 25,54 m

Відповідь

H = 25,54 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 6403 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1400·9,81 − 1400·24²/110 = 13734 − 7331 = 6403 N

Відповідь

N = 6403 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 2,5 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·1 = 2,5 m

Відповідь

h_min = 2,5 m

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 56,18 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,7·9,81) = 56,18 m

Відповідь

d = 56,18 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 19,62 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(9 − 6) = 58,86 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·58,86/3 − 19,62 = 19,62 N

Відповідь

N = 19,62 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 631,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,1) = 1,401 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 4,5)·1,401/0,01 = 631,7 m/s

Відповідь

v = 631,7 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 29,77 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·20) = 14,01 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1700·14,01/800 = 29,77 m/s

Відповідь

v₁ = 29,77 m/s

(107,2 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,487 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Відповідь

L = 0,487 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,582 m/s

Кутова частота

ω = √(370/2,5) = 12,17 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,13·12,17 = 1,582 m/s

Відповідь

v_max = 1,582 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 62,96 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (5/20)² = 0,0625

Новий рівень

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0,0625) = 62,96 dB

Відповідь

β₂ = 62,96 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 500,4 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 8,333 × 10⁻⁷·sin 36,9°/1 = 500,4 nm

Відповідь

λ = 500,4 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics