Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 45 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 45 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3,8 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3,8 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 12 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 12 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 105 N тягне передній брусок масою 1 kg; брусок масою 3 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgF = 105 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 10 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 17 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,8 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 35° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,8 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 5,5 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 5,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 10 kg висить на легкій нитці завдовжки 3 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 70° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 10 kgL = 3 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 3 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 800 kg, що рухається зі швидкістю 21 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 800 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1000 kg, що їде на схід зі швидкістю 8 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1300 kg, що їде на північ зі швидкістю 8 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть швидкість v′ уламків одразу після зіткнення.

m₁ = 1000 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 8 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,5 kg на пружині з k = 270 N/m відтягують на 8 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,95 s (зі знаком).

m = 2,5 kgk = 270 N/mA = 8 cmt = 0,95 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,1 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 50 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 1,1 kgk = 50 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 3 см стоїть на відстані 30 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 12 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 3 cmd_o = 30 cmf = 12 cm

h_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 532 нм падає на дві щілини на відстані 0,4 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1 м. Знайдіть відстань y₁ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 1.

λ = 532 nmd = 0,4 mmL = 1 mm = 1

y₁ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 4,167 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12,5/3 = 4,167 s

Відповідь

t = 4,167 s

2.Кінематика

Відповідь: d = 64,04 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3,8 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1303 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1303))/(2·4,905) = 3,613 s

Глибина

d = ½·9,81·3,613² = 64,04 m

Відповідь

d = 64,04 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,356 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Відповідь

a = 2,356 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 78,75 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 9,81)/4 = 23,8 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(23,8 + 2,453) = 78,75 N

Відповідь

T = 78,75 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 10,19 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 45° = 7,071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 45° = 7,071 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·7,071/9,81 = 1,442 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 7,071·1,442 = 10,19 m

Відповідь

x = 10,19 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,565 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 60° = 8,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 60° = 14,72 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 35 + 14,72·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,72 + √(216,8 + 686,7))/9,81 = 4,565 s

Відповідь

t = 4,565 s

7.Рух по колу

Відповідь: T = 2,436 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,8·sin 35° = 1,032 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,032·9,81·tan 35°) = 2,663 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·1,032/2,663 = 2,436 s

Відповідь

T = 2,436 s

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 13,75 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·5,5 = 13,75 m

Відповідь

h_min = 13,75 m

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 227,2 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·3·(1 − cos 70°) = 38,73 m²/s²

Сили внизу

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·38,73/3 = 227,2 N

Відповідь

T = 227,2 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 227,2 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,322 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 29,43·3 = 88,29 J

μ·m₁g·d = 0,3·49,05·3 = 44,14 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 44,14 → v = √(2·44,14/8) = 3,322 m/s

Відповідь

v = 3,322 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 115043 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·21/2300 = 7,304 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·800·21² = 176400 J

K_after = ½·2300·7,304² = 61357 J

Втрачена енергія

ΔK = 176400 − 61357 = 115043 J

Відповідь

ΔK = 115043 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′ = 5,705 m/s

Складові імпульсу

p_x = 1000·8 = 8000 kg·m/s

p_y = 1300·8 = 10400 kg·m/s

Швидкість уламків

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 13121/2300 = 5,705 m/s

Відповідь

v′ = 5,705 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −7,211 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(270/2,5) = 10,39 rad/s

ω·t = 10,39·0,95 = 9,873 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(9,873) = −7,211 cm

Відповідь

x = −7,211 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,455 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1,1·9,81/50 = 0,2158 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(50/1,1) = 6,742 rad/s

v_max = A·ω = 0,2158·6,742 = 1,455 m/s

Відповідь

v_max = 1,455 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = −2 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/30

d_i = 20 cm

Збільшення і висота

m = −20/30 = −0,6667

h_i = −0,6667·3 = −2 cm

Відповідь

h_i = −2 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₁ = 1,33 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·1/(0,4 × 10⁻³) = 1,33 mm

Смуга номер 1

y₁ = 1·1,33 = 1,33 mm

Відповідь

y₁ = 1,33 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics