Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 90 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,6 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 6 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 90 km/ht_r = 0,6 sa = −6 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 22 m/s² протягом 2,5 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 22 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 14 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 14 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 55° над горизонталлю, і він падає на відстані 100 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 55°R = 100 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 29 m/s під кутом 65° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 16 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 29 m/sθ = 65°h_roof = 16 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 105 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 105 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,6 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 100 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,4. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 100 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 2 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 16 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,5 kgv_in = 16 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 4 kg на пружині з k = 440 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 12 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 8 cm від положення рівноваги.

m = 4 kgk = 440 N/mA = 12 cmx = 8 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,1 kg на пружині з k = 50 N/m відтягують на 6 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 2,1 kgk = 50 N/mA = 6 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: гармоніка номер 2 має становити 300 Гц; хвилі поширюються зі швидкістю 150 м/с. Знайдіть довжину L.

v = 150 m/sn = 2f₂ = 300 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 50 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 20 см і лінза 2 з f₂ = −10 см. Предмет стоїть на відстані 50 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 20 cmf₂ = −10 cms = 50 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 67,08 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 25·0,6 = 15 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·6) = 52,08 m

Разом

d = 15 + 52,08 = 67,08 m

Відповідь

d = 67,08 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 222,9 m

Активна ділянка

v₁ = 22·2,5 = 55 m/s

h₁ = ½·22·2,5² = 68,75 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 55²/(2·9,81) = 154,2 m

h_max = 68,75 + 154,2 = 222,9 m

Відповідь

h_max = 222,9 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,631 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Відповідь

a = 3,631 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,131 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 4,905)/8 = 6,131 m/s²

Відповідь

a = 6,131 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 32,31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·100/sin 110°) = 32,31 m/s

Відповідь

v₀ = 32,31 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 57,09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 12,26 m/s, v_y = 26,28 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

16 = 26,28·t − 4,905·t²

t = (26,28 + √(26,28² − 2·9,81·16))/9,81 = 4,658 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,26·4,658 = 57,09 m

Відповідь

x = 57,09 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 22,69 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·105) = 22,69 m/s

Відповідь

v_max = 22,69 m/s (81,7 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,426 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,6) = 2,426 m/s

Відповідь

v_min = 2,426 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 98,32 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,4·9,81) = 98,32 m

Відповідь

d = 98,32 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,05 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 19,62·3 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,3·49,05·3 = 44,14 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 14,72 → v = √(2·14,72/7) = 2,05 m/s

Відповідь

v = 2,05 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 5,833 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 3,5)/(2,5 + 3,5)·7 = −1,167 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3,5)·7 = 5,833 m/s

Відповідь

v′₂ = 5,833 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 1050 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(5 + 16) = 10,5 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 10,5/0,01 = 1050 N

Відповідь

F_avg = 1050 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,9381 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(440/4) = 10,49 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 10,49·√(0,12² − 0,08²) = 0,9381 m/s

Відповідь

v = 0,9381 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,2928 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(50/2,1) = 4,88 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,06·4,88 = 0,2928 m/s

Відповідь

v_max = 0,2928 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,5 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 150/300 = 0,5 m

Довжина

L = nλ/2 = 2·0,5/2 = 0,5 m

Відповідь

L = 0,5 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = −6,25 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/20 − 1/50 → d_i1 = 33,33 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 50 − 33,33 = 16,67 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/16,67 → d_i2 = −6,25 cm

Відповідь

d_i2 = −6,25 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics