Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Автомобіль, що їде зі швидкістю 108 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.
Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 9 s, потім їде зі сталою швидкістю 6 s і нарешті гальмує з прискоренням 5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.
Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 9 m/s і зупиняється, пройшовши 21 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.
Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 85 N тягне передній брусок масою 8 kg; брусок масою 10 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.
М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 18 m/s, і він має впасти на відстані 25 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.
М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 50 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.
Маленька кулька на нитці завдовжки 1,7 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 60° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.
Кульку масою 1,6 kg на легкій нитці завдовжки 0,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу Ttop нитки в найвищій точці.
Автомобіль масою 800 kg піднімається схилом 2° зі сталою швидкістю 54 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 600 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.
Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.
Візок масою 2 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′1 першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).
На перехресті автомобіль масою 1500 kg, що їде на схід зі швидкістю 16 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1900 kg, що їде на північ зі швидкістю 17 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть швидкість v′ уламків одразу після зіткнення.
Вантаж масою 1,2 kg на пружині з k = 380 N/m відтягують на 3 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,4 s (зі знаком).
Куля масою 8 g, що летить зі швидкістю 450 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1800 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.
Джерело частотою 800 Гц, що рухається зі швидкістю 25 м/с, і спостерігач, що рухається зі швидкістю 10 м/с, наближаються один до одного. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.
Світло з довжиною хвилі 532 нм падає на дві щілини на відстані 0,1 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,2 м. Знайдіть відстань Δy між сусідніми світлими смугами.
Відповідь: s = 81,82 m
Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.
Відповідь: s = 160 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Відповідь: μ = 0,1966
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Відповідь: T = 47,22 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Відповідь: θ = 24,6 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Інший розв’язок 90° − θ = 65,4°.
Відповідь: t = 4,638 s
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Розв’яжіть y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.
Відповідь: T = 1,85 s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).
Відповідь: Ttop = 274,3 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.
Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.
Відповідь: P = 13,11 kW
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.
Відповідь: v = 5,86 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.
Відповідь: v′1 = 3 m/s
Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.
Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.
Відповідь: v′ = 11,84 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Відповідь: x = 2,928 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: A = 5,358 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Відповідь: f′ = 888,1 Hz
Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, fn = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.
Відповідь: Δy = 6,384 mm
Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics