Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 2100 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 2100 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 20 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 20 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 6 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 12 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 11 m/sθ = 30°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,3 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 35° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,3 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,2 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 2000 kg піднімається схилом 4° зі сталою швидкістю 36 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 800 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 2000 kgθ = 4°F_r = 800 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 3 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,2). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 4 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1000 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 800 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1000 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 2000 kg, що їде на схід зі швидкістю 9 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1700 kg, що їде на північ зі швидкістю 14 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 2000 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1 m має період 1,26 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1 mT = 1,26 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 10 g, що летить зі швидкістю 450 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 4 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1400 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 10 gv = 450 m/sM = 4 kgk = 1400 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,4 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 343 m/sn = 5L = 0,4 m

f₅ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,62 і оболонку з n₂ = 1,54. Знайдіть його числову апертуру NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,54

NA =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,44 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·2100) = 1,44 m/s²

Відповідь

a = 1,44 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,165 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,165 s

Відповідь

t = 2,165 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,146 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Відповідь

a = 4,146 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 30,61 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 11,77)/10 = 4,709 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·4,709 + 11,77 = 30,61 N

Відповідь

T = 30,61 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 9,435 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 70° = 4,104 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 70° = 11,28 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·11,28/9,81 = 2,299 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 4,104·2,299 = 9,435 m

Відповідь

x = 9,435 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 37,68 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 30° = 9,526 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 30° = 5,5 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 5,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,5 + √(30,25 + 1079))/9,81 = 3,956 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 9,526·3,956 = 37,68 m

Відповідь

x = 37,68 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 0,9945 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,3·sin 35° = 0,1721 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,1721·9,81·tan 35°) = 1,087 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,1721/1,087 = 0,9945 s

Відповідь

T = 0,9945 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,431 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,2) = 3,431 m/s

Відповідь

v_min = 3,431 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 21,69 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 4° = 1369 N

F = 1369 + 800 = 2169 N

Потужність

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 2169·10 = 21686 W = 21,69 kW

Відповідь

P = 21,69 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,366 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 39,24·2 = 78,48 J

μ·m₁g·d = 0,2·29,43·2 = 11,77 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 66,71 → v = √(2·66,71/7) = 4,366 m/s

Відповідь

v = 4,366 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 44,44 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·7/1800 = 3,889 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1000·7² = 24500 J

K_after = ½·1800·3,889² = 13611 J

Втрачена частка

ΔK/K = 10889/24500 = 44,44 %

Відповідь

ΔK/K = 44,44 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 52,9 °

Складові імпульсу

p_x = 2000·9 = 18000 kg·m/s

p_y = 1700·14 = 23800 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 1,322 → θ = 52,9°

Відповідь

θ = 52,9°

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 24,87 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1/1,26² = 24,87 m/s²

Відповідь

g = 24,87 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 6,006 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,01·450/4,01 = 1,122 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1400/4,01) = 18,68 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 1,122/18,68 = 0,06006 m = 6,006 cm

Відповідь

A = 6,006 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 2144 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,4/5 = 0,16 m

Частота

f = v/λ = 343/0,16 = 2144 Hz

Відповідь

f₅ = 2144 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: NA = 0,5028

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,54/1,62 = 0,9506 → θc = 71,92°

Числова апертура

NA = √(1,62² − 1,54²) = 0,5028

Відповідь

NA = 0,5028

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics