Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 90 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 90 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 25 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 25° над горизонталлю із силою 150 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 25 kgF = 150 Nθ = 25°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 15° зі швидкістю 6 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 6 m/sθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 36 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 32 m/s під кутом 55° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 11 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 32 m/sθ = 55°h_roof = 11 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 50 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 50 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,7 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 5 kg ковзає 18 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,35. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 5 kgθ = 45°μ = 0,35d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 3000 N/m біля підніжжя схилу 35° стискають на 20 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,3. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1700 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1700 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1500 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1000 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 17,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1500 kgm₂ = 1000 kgd = 17,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,5 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 10 g, що летить зі швидкістю 150 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 400 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 10 gv = 150 m/sM = 2,5 kgk = 400 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: гармоніка номер 4 має становити 1715 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 4f₄ = 1715 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 405 нм падає під прямим кутом на ґратку з 600 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 600 mm⁻¹λ = 405 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 104,2 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·3) = 104,2 m

Відповідь

s = 104,2 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,159 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,159 s

Відповідь

t = 3,159 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,528 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 150·sin 25° = 181,9 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 135,9 − 72,74

a = 63,2/25 = 2,528 m/s²

Відповідь

a = 2,528 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 3,668 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 15° + 0,25·cos 15°) = 4,908 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 6²/(2·4,908) = 3,668 m

Відповідь

d = 3,668 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 101,2 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 25° = 32,63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 25° = 15,21 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·15,21/9,81 = 3,102 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 32,63·3,102 = 101,2 m

Відповідь

x = 101,2 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 89,66 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 18,35 m/s, v_y = 26,21 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

11 = 26,21·t − 4,905·t²

t = (26,21 + √(26,21² − 2·9,81·11))/9,81 = 4,885 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 18,35·4,885 = 89,66 m

Відповідь

x = 89,66 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 15,66 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·50) = 15,66 m/s

Відповідь

v_max = 15,66 m/s (56,38 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,62 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,7) = 2,62 m/s

Відповідь

v_min = 2,62 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 218,5 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 49,05·0,7071 = 34,68 N

F = μN = 0,35·34,68 = 12,14 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 12,14·18 = 218,5 J

Відповідь

W_f = 218,5 J

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 14,93 m

Енергія пружини

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·3000·0,2² = 60 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(4,905·(0,5736 + 0,3·0,8192)) = 14,93 m

Відповідь

d = 14,93 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 4830 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·5/2200 = 3,864 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1700·5² = 21250 J

K_after = ½·2200·3,864² = 16420 J

Втрачена енергія

ΔK = 21250 − 16420 = 4830 J

Відповідь

ΔK = 4830 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 27,62 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·17,5) = 16,57 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·16,57/1500 = 27,62 m/s

Відповідь

v₁ = 27,62 m/s

(99,44 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,457 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

Відповідь

T = 2,457 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 4,734 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,01·150/2,51 = 0,5976 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(400/2,51) = 12,62 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,5976/12,62 = 0,04734 m = 4,734 cm

Відповідь

A = 4,734 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,4 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/1715 = 0,2 m

Довжина

L = nλ/2 = 4·0,2/2 = 0,4 m

Відповідь

L = 0,4 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 46,8 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/600 mm = 1,667 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·405 × 10⁻⁹/(1,667 × 10⁻⁶) = 0,729

θ = 46,8°

Відповідь

θ₃ = 46,8°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics