Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 45 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 45 km/ht_r = 1 sa = −8 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 24 m/s² протягом 2 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Через скільки часу після старту вона впаде на землю? Знайдіть t.

a = 24 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 30 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 40° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 30 kgθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 38 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 20 m/s під кутом 40° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 20 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 55 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 55 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,2 kg на нитці завдовжки 0,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 3,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,2 kgr = 0,5 mv = 3,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 1000 N/m. На неї кладуть кульку 0,5 kg, стискають пружину на 6 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,5 kgk = 1000 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 4,5 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 8 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 12 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 5 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 68 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 3 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 8 kgu = 12 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 68 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 27 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 17 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,3 kgv_in = 27 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,2 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,2 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 5 g, що летить зі швидкістю 100 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 1,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 800 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 5 gv = 100 m/sM = 1,5 kgk = 800 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 0,8 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₇ для моди «гармоніка номер 7».

v = 343 m/sn = 7L = 0,8 m

f₇ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 650 нм падає на дві щілини на відстані 0,15 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,5 м. Знайдіть відстань y₅ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 5.

λ = 650 nmd = 0,15 mmL = 1,5 mm = 5

y₅ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 22,27 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 12,5·1 = 12,5 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·8) = 9,766 m

Разом

d = 12,5 + 9,766 = 22,27 m

Відповідь

d = 22,27 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 12,7 s

Активна ділянка

v₁ = 24·2 = 48 m/s

h₁ = ½·24·2² = 48 m

Вільний політ до землі

Розв’яжіть −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² і візьміть додатний корінь.

t₂ = (48 + √(48² + 2·9,81·48))/9,81 = 10,7 s

t = 2 + 10,7 = 12,7 s

Відповідь

t = 12,7 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 279,4 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 189,2 + 90,18 = 279,4 N

Відповідь

F = 279,4 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 30,66 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 12,26)/10 = 3,679 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·3,679 + 12,26 = 30,66 N

Відповідь

T = 30,66 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 112,8 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 65° = 16,06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 65° = 34,44 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·34,44/9,81 = 7,021 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 16,06·7,021 = 112,8 m

Відповідь

x = 112,8 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 38,42 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 20·sin 40° = 12,86 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 12,86²/(2·9,81) = 8,424 m

Висота над землею

H = 30 + 8,424 = 38,42 m

Відповідь

H = 38,42 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 19,43 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·55) = 19,43 m/s

Відповідь

v_max = 19,43 m/s (69,96 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 6,862 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,2·9,81 + 0,2·3,5²/0,5 = 1,962 + 4,9 = 6,862 N

Відповідь

T = 6,862 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,367 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·1000·0,06² = 1,8 J

Висота

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

h = ½kx²/(mg) = 1,8/4,905 = 0,367 m

Відповідь

h = 0,367 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 26,02 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(4,5 − 0,3·3,5) = 135,4 J

Найбільше стиснення

½kx² = 135,4 → x = √(2·135,4/4000) = 0,2602 m = 26,02 cm

Відповідь

x = 26,02 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −81,33 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 8·12 = 96 kg·m/s

Імпульс після удару

96 = 5·68 + 3·v′₂

v′₂ = (96 − 340)/3 = −81,33 m/s

Відповідь

v′₂ = −81,33 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 660 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(17 + 27) = 13,2 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 13,2/0,02 = 660 N

Відповідь

F_avg = 660 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,203 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,2/2π)² = 1,203 m

Відповідь

L = 1,203 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 1,441 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,005·100/1,505 = 0,3322 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(800/1,505) = 23,06 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,3322/23,06 = 0,01441 m = 1,441 cm

Відповідь

A = 1,441 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₇ = 750,3 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·0,8/7 = 0,4571 m

Частота

f = v/λ = 343/0,4571 = 750,3 Hz

Відповідь

f₇ = 750,3 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₅ = 32,5 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·1,5/(0,15 × 10⁻³) = 6,5 mm

Смуга номер 5

y₅ = 5·6,5 = 32,5 mm

Відповідь

y₅ = 32,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics