Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 16 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 4,5 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 16 m/sa_police = 4,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 2 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на похилій площині з кутом 40° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 9 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 9 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 65° над горизонталлю, і він падає на відстані 55 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 65°R = 55 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 26 m/s під кутом 50° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 26 m/sθ = 50°h = 10 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 170 m зі швидкістю 100 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 170 mv = 100 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1 kg на легкій нитці завдовжки 1 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 7,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1 kgr = 1 mv_bottom = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 4 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,15d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 2000 N/m біля підніжжя схилу 20° стискають на 15 cm бруском масою 2 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,1. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 4 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 15 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 15 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,5 kgv_in = 15 m/sv_out = 15 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,1 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,5 kg на пружині з k = 290 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,5 kgk = 290 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло всередині прозорого блока повністю відбивається на межі із середовищем «кронове скло» (n = 1,50) для будь-якого кута падіння понад 42°. Знайдіть показник заломлення n₁ блока.

θ_c = 42°n₂ = 1,50

n₁ =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 450 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,12 мм. Знайдіть кут θ₁ темної смуги номер 1 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 450 nma = 0,12 mmm = 1

θ₁ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 113,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/4,5 = 7,111 s

Шлях

d = v·t = 16·7,111 = 113,8 m

Відповідь

d = 113,8 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 32 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,165 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,165 s

Відповідь

t = 2,165 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,856 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Відповідь

a = 4,856 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 34,68 N

μ·m₁·g·cos θ = 6,2 N

Прискорення системи

a = (88,29 − 34,68 − 6,2)/14,5 = 3,27 m/s²

Відповідь

a = 3,27 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 26,54 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·55/sin 130°) = 26,54 m/s

Відповідь

v₀ = 26,54 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 55,54 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 26·cos 50° = 16,71 m/s

v_y0 = 26·sin 50° = 19,92 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(19,92² + 2·9,81·10) = 24,35 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 24,35/16,71 → α = 55,54°

Відповідь

α = 55,54°

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 24,83 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 27,78²/(170·9,81) = 0,4627

θ = 24,83°

Відповідь

θ = 24,83°

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 7,2 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 7,5² − 4·9,81·1 = 17,01 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·17,01/1 − 1·9,81 = 7,2 N

Відповідь

T_top = 7,2 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 19,29 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,15·32,14 = 4,822 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 4,822·4 = 19,29 J

Відповідь

W_f = 19,29 J

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 2,63 m

Енергія пружини

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·2000·0,15² = 22,5 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 22,5/(19,62·(0,342 + 0,1·0,9397)) = 2,63 m

Відповідь

d = 2,63 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −0,8 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 4,5)/(3 + 4,5)·4 = −0,8 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4,5)·4 = 3,2 m/s

Відповідь

v′₁ = −0,8 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 15 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(15 + 15) = 15 N·s

Відповідь

J = 15 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,3007 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m

Відповідь

L = 0,3007 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 17,4 m/s²

Кутова частота

ω = √(290/2,5) = 10,77 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,15·10,77² = 17,4 m/s²

Відповідь

a_max = 17,4 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: n₁ = 2,242

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Показник заломлення блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,50/0,6691 = 2,242

Відповідь

n₁ = 2,242

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₁ = 0,2149 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,00375

θ = 0,2149°

Відповідь

θ₁ = 0,2149°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics