Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 100 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 5 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 16 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 20 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 20 kgθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 32 m/s, і він має впасти на відстані 75 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 32 m/sR = 75 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 26 m/s під кутом 65° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 26 m/sθ = 65°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,6 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 50° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,6 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 2000 N/m. На неї кладуть кульку 0,15 kg, стискають пружину на 10 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,15 kgk = 2000 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 4,5 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 1,5 m. Знайдіть швидкість v візка у верхній точці петлі.

m = 0,5 kgh = 4,5 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 29 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 14 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,3 kgv_in = 29 m/sv_out = 14 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 3 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 3 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,9 kg на пружині з k = 200 N/m відтягують на 10 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 1,9 kgk = 200 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «кронове скло» (n = 1,50). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 2,42n₂ = 1,50

θ_c = °

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 500 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,12 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 1 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 500 nma = 0,12 mmL = 1 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 110,2 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·3,5) = 110,2 m

Відповідь

s = 110,2 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 18,05 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9,81) = 13,05 m

Висота над землею

h_max = 5 + 13,05 = 18,05 m

Відповідь

h_max = 18,05 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,051 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,3·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,2298) = 4,051 m/s²

Відповідь

a = 4,051 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,102 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/7 = 2,102 m/s²

Відповідь

a = 2,102 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 22,97 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·75/32² = 0,7185

Кут

2θ = 45,93° → θ = 22,97°

Відповідь

θ = 22,97°

Інший розв’язок 90° − θ = 67,03°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 73,3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 26·sin 65° = 23,56 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 23,56²/(2·9,81) = 28,3 m

Висота над землею

H = 45 + 28,3 = 73,3 m

Відповідь

H = 73,3 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,246 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,6·sin 50° = 0,4596 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,4596·9,81·tan 50°) = 2,318 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,4596/2,318 = 1,246 s

Відповідь

T = 1,246 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,571 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

Відповідь

v_min = 3,571 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 6,796 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·2000·0,1² = 10 J

Висота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 10/1,472 = 6,796 m

Відповідь

h = 6,796 m

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,425 m/s

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,5 − 3) = 29,43 m²/s²

v = 5,425 m/s

Відповідь

v = 5,425 m/s

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,6667 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4 − 2)/(4 + 2)·2 = 0,6667 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2)·2 = 2,667 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,6667 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 645 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(14 + 29) = 12,9 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 12,9/0,02 = 645 N

Відповідь

F_avg = 645 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,475 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(3/9,81) = 3,475 s

Відповідь

T = 3,475 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,026 m/s

Кутова частота

ω = √(200/1,9) = 10,26 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,1·10,26 = 1,026 m/s

Відповідь

v_max = 1,026 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 38,3 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,50/2,42 = 0,6198

Критичний кут

θc = arcsin(0,6198) = 38,3°

Відповідь

θ_c = 38,3°

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 8,333 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 500 × 10⁻⁹·1/(0,12 × 10⁻³) = 4,167 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 8,333 mm

Відповідь

w = 8,333 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics