Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 90 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 90 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 15 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 10 kg і 4 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a вантажів.

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 24 m/s, і він має впасти на відстані 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 24 m/sR = 45 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 24 m/s під кутом 30° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 4 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 24 m/sθ = 30°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 45 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 45 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 280 m має нахил полотна 30°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 280 mθ = 30°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 7 m похилою площиною під кутом 25° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0,25d = 7 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 1 kgh = 4,5 mL = 2 mμ = 0,2k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1100 kg, що рухається зі швидкістю 17 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1100 kgv₁ = 17 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,55 kg ударяється об стіну зі швидкістю 18 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 15 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,55 kgv_in = 18 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,1 m має період 3,42 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,1 mT = 3,42 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,9 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 180 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 1,9 kgk = 180 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,4 м, хвилі поширюються зі швидкістю 120 м/с. Знайдіть частоту f₃ для моди «гармоніка номер 3».

v = 120 m/sn = 3L = 0,4 m

f₃ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 100 лініями на міліметр показує максимум порядку 3 спектральної лінії під кутом 7° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 100 mm⁻¹θ₃ = 7°m = 3

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 41,67 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·7,5) = 41,67 m

Відповідь

s = 41,67 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,768 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−40 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 40 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,768 s

Відповідь

t = 4,768 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,204 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (10 − 4)·9,81/(10 + 4) = 4,204 m/s²

Відповідь

a = 4,204 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 20,14 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/9,5 = 3,098 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6,5·3,098 + 0 = 20,14 N

Відповідь

T = 20,14 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 25,02 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·45/24² = 0,7664

Кут

2θ = 50,03° → θ = 25,02°

Відповідь

θ = 25,02°

Інший розв’язок 90° − θ = 64,98°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 42,57 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 20,78 m/s, v_y = 12 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

4 = 12·t − 4,905·t²

t = (12 + √(12² − 2·9,81·4))/9,81 = 2,048 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 20,78·2,048 = 42,57 m

Відповідь

x = 42,57 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 13,29 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·45) = 13,29 m/s

Відповідь

v_max = 13,29 m/s (47,84 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 49,13 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(280·9,81·0,6732/0,766) = 49,13 m/s

Відповідь

v_max = 49,13 m/s

(176,9 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 155,6 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,9063 = 88,91 N

F = μN = 0,25·88,91 = 22,23 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 22,23·7 = 155,6 J

Відповідь

W_f = 155,6 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 17,94 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(4,5 − 0,2·2) = 40,22 J

Найбільше стиснення

½kx² = 40,22 → x = √(2·40,22/2500) = 0,1794 m = 17,94 cm

Відповідь

x = 17,94 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 91702 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·17/2600 = 7,192 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1100·17² = 158950 J

K_after = ½·2600·7,192² = 67248 J

Втрачена енергія

ΔK = 158950 − 67248 = 91702 J

Відповідь

ΔK = 91702 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 18,15 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,55·(15 + 18) = 18,15 N·s

Відповідь

J = 18,15 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,713 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,1/3,42² = 3,713 m/s²

Відповідь

g = 3,713 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,008 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1,9·9,81/180 = 0,1036 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(180/1,9) = 9,733 rad/s

v_max = A·ω = 0,1036·9,733 = 1,008 m/s

Відповідь

v_max = 1,008 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₃ = 450 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,4/3 = 0,2667 m

Частота

f = v/λ = 120/0,2667 = 450 Hz

Відповідь

f₃ = 450 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 406,2 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 1 × 10⁻⁵·sin 7°/3 = 406,2 nm

Відповідь

λ = 406,2 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics