Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 18 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 3 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.

v_car = 18 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 25 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 27 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 25 mv_0B = 27 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 15 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 35° над горизонталлю із силою 110 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 15 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 9 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 9 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 35° над горизонталлю, і він падає на відстані 60 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 35°R = 60 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 39 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 18 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 39 m/sθ = 45°h_roof = 18 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 25 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 25 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,9 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 16 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 40°μ = 0,25d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 30° і його тягнуть угору сталою силою 50 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 5 m угору схилом.

m = 5 kgF = 50 Nθ = 30°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 8 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 6 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 8 gM = 4 kgh = 6 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 26 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 9 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,3 kgv_in = 26 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,8 kg на пружині з k = 450 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

m = 1,8 kgk = 450 N/mA = 8 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 430 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 9 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 6 cm від положення рівноваги.

k = 430 N/mA = 9 cmx = 6 cm

K = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «гліцерин» (n = 1,47) до плоскої межі із середовищем «вода» (n = 1,33). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 1,47n₂ = 1,33

θ_c = °

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 589 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,15 мм. Знайдіть кут θ₃ темної смуги номер 3 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 589 nma = 0,15 mmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 12 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·18/3 = 12 s

Відповідь

t = 12 s

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 36 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: y = 20,79 m

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

25 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 25/27 = 0,9259 s

Висота зустрічі

y = 27·0,9259 − ½·9,81·0,9259² = 20,79 m

Відповідь

y = 20,79 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,606 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 110·sin 35° = 84,06 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 90,11 − 21,01

a = 69,09/15 = 4,606 m/s²

Відповідь

a = 4,606 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 38,65 N

Сили вздовж нитки

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 16,58 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (88,29 − 16,58 − 0)/13 = 5,516 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9,81 − 5,516) = 38,65 N

Відповідь

T = 38,65 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 25,03 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·60/sin 70°) = 25,03 m/s

Відповідь

v₀ = 25,03 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 134,3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 27,58 m/s, v_y = 27,58 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

18 = 27,58·t − 4,905·t²

t = (27,58 + √(27,58² − 2·9,81·18))/9,81 = 4,868 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 27,58·4,868 = 134,3 m

Відповідь

x = 134,3 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 13,1 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·25) = 13,1 m/s

Відповідь

v_max = 13,1 m/s (47,17 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,971 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,9) = 2,971 m/s

Відповідь

v_min = 2,971 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 15,03 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,766 = 3,757 N

F = μN = 0,25·3,757 = 0,9394 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 0,9394·16 = 15,03 J

Відповідь

W_f = 15,03 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,451 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 24,52 N

μ·mg·cos θ = 10,62 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (50 − 35,14)·5 = 74,28 J

v = √(2·74,28/5) = 5,451 m/s

Відповідь

v = 5,451 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 543,6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,06) = 1,085 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 4)·1,085/0,008 = 543,6 m/s

Відповідь

v = 543,6 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 210 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(9 + 26) = 10,5 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 10,5/0,05 = 210 N

Відповідь

F_avg = 210 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,225 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(450/1,8) = 15,81 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 15,81·√(0,08² − 0,02²) = 1,225 m/s

Відповідь

v = 1,225 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,9675 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·430·0,09² = 1,741 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·430·0,06² = 0,774 J

Кінетична енергія

K = 1,741 − 0,774 = 0,9675 J

Відповідь

K = 0,9675 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 64,79 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/1,47 = 0,9048

Критичний кут

θc = arcsin(0,9048) = 64,79°

Відповідь

θ_c = 64,79°

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 0,675 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,01178

θ = 0,675°

Відповідь

θ₃ = 0,675°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics