Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 120 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 120 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 5 s, потім їде зі сталою швидкістю 16 s і нарешті гальмує з прискоренням 3,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 5 st₂ = 16 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 6,5 m/s і зупиняється, пройшовши 11 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 6,5 m/sd = 11 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 30° над горизонталлю, і він падає на відстані 95 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 30°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 110 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 110 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,6 kg на нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,6 kgr = 1,1 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 3 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 20° і його тягнуть угору сталою силою 105 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 6 m угору схилом.

m = 10 kgF = 105 Nθ = 20°μ = 0,2d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 1 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,9 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 5 kgL = 0,9 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,8 m має період 4,38 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,8 mT = 4,38 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,5 kg на пружині з k = 160 N/m відтягують на 16 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 1,5 kgk = 160 N/mA = 16 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 90 дБ на відстані 2 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 8 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 90 dBr₁ = 2 mr₂ = 8 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дифракційна ґратка має 1200 ліній на міліметр. Світло з довжиною хвилі 550 нм падає на неї під прямим кутом. Який найвищий порядок m_max світлого максимуму можна побачити?

N = 1200 mm⁻¹λ = 550 nm

m_max =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 101 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·5,5) = 101 m

Відповідь

s = 101 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 309,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·5 = 15 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·3·5² = 37,5 m

s₂ = 15·16 = 240 m

s₃ = 15²/(2·3,5) = 32,14 m

Повна відстань

s = 37,5 + 240 + 32,14 = 309,6 m

Відповідь

s = 309,6 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1958

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 6,5²/(2·11) = 1,92 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,92/9,81 = 0,1958

Відповідь

μ = 0,1958

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 9,81 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 2,453)/5 = 7,357 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1·7,357 + 2,453 = 9,81 N

Відповідь

T = 9,81 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 32,8 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 60°) = 32,8 m/s

Відповідь

v₀ = 32,8 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 173,1 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 30° = 30,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 30° = 17,5 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 60 + 17,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,5 + √(306,2 + 1177))/9,81 = 5,71 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 30,31·5,71 = 173,1 m

Відповідь

x = 173,1 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 20,78 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·110) = 20,78 m/s

Відповідь

v_max = 20,78 m/s (74,79 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 19,52 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·5²/1,1 = 5,886 + 13,64 = 19,52 N

Відповідь

T = 19,52 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,667 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·3·(0,5 − 0,15·0,866)) = 4,667 m/s

Відповідь

v = 4,667 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,976 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 33,55 N

μ·mg·cos θ = 18,44 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (105 − 51,99)·6 = 318,1 J

v = √(2·318,1/10) = 7,976 m/s

Відповідь

v = 7,976 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −1,273 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1 − 4,5)/(1 + 4,5)·2 = −1,273 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4,5)·2 = 0,7273 m/s

Відповідь

v′₁ = −1,273 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 324 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,9·(1 − cos 15°) = 0,03067 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,03067) = 0,7757 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 5,012·0,7757/0,012 = 324 m/s

Відповідь

v = 324 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,704 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,8/4,38² = 3,704 m/s²

Відповідь

g = 3,704 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 2,048 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(160/1,5) = 10,33 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·160·0,16² = 2,048 J

Відповідь

E = 2,048 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 77,96 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (2/8)² = 0,0625

Новий рівень

β₂ = 90 + 10·log₁₀(0,0625) = 77,96 dB

Відповідь

β₂ = 77,96 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m_max = 1

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/1200 mm = 0,8333 µm

Найвищий порядок

m ≤ d/λ = 0,8333 µm/0,55 µm = 1,515 → m_max = 1

Відповідь

m_max = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics