Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +10 µC і заряд −10 µC розташовані на відстані 50 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 20 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCr₁ = 20 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 3 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 10 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 5 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 5 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 50% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 15 VR = 47 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 15 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 11,25 V, рівно через 100 ms після старту. При R = 1 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 15 VV_th = 11,25 VT = 100 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 15 см один від одного проводять струми 25 А і 10 А у протилежних напрямках. Знайдіть модуль магнітної індукції B у точці P посередині між ними.

I₁ = 25 AI₂ = 10 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 100 витків, 10 см × 20 см, обертається зі швидкістю 1500 об/хв в однорідному полі 0,4 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть діюче значення E_rms ЕРС.

N = 100A = 10 cm × 20 cmB = 0,4 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,246 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |2,247 × 10⁶ + 998889| = 3,246 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 3,246 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 304,5 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·10·3 × 10⁻¹²/0,03² = 299,7 N

F₂ = k·5·3 × 10⁻¹²/0,05² = 53,94 N

Векторна сума

F = √(299,7² + 53,94²) = 304,5 N

Відповідь

F = 304,5 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2128 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 12·16/(12+16) = 6,857 Ω

R_eq = R₁ + 6,857 = 20 + 6,857 = 26,86 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/26,86 = 0,3723 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,3723·20 = 2,553 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,553/12 = 0,2128 A

Відповідь

I_R2 = 0,2128 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,309 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 10 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 8,108 Ω

R₃ + 8,108 = 20,11 Ω

R₂ ∥ 20,11 = 1,819 Ω

R_eq = R₁ + 1,819 = 10 + 1,819 = 11,82 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11,82 = 2,538 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,538·10 = 4,617 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,617/2 = 2,309 A

Відповідь

I_R2 = 2,309 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,6931 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/47 = 0,3191 A

Виразіть час

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −1·ln(0,5) = 0,6931 ms

Відповідь

t = 0,6931 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 72,13 µF

Потрібна стала часу

11,25 = 15·(1 − e^−100/τ) → τ = 100/ln(15/(15 − 11,25))

τ = 100/1,386 = 72,13 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 72,13/1 = 72,13 µF

Відповідь

C = 72,13 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 93,33 µT

Магнітне поле струмів: навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола (правило правої руки), і B = μ₀I/(2πr). У центрі плоскої колової котушки з N витків B = μ₀NI/(2R). Усередині довгого соленоїда поле однорідне, B = μ₀nI, де n = N/L витків на метр, незалежно від радіуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Тл·м/А. Працюйте в одиницях СІ (метри й ампери) і додавайте поля кількох джерел як вектори.

Поле кожного провідника в точці P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·25/0,075 = 66,67 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·10/0,075 = 26,67 µT

Об’єднайте

B = B₁ + B₂ = 93,33 µT

Відповідь

B = 93,33 µT

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E_rms = 88,86 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

A = 0,02 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 100·0,4·0,02·157,1 = 125,7 V

Діюче значення

E_rms = 125,7/√2 = 88,86 V

Відповідь

E_rms = 88,86 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,8982

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 67,73 Ω

Повний опір

|Z| = √(10² + (−4,894)²) = 11,13 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 10/11,13 = 0,8982

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,8982

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 87,61 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·22·10⁻⁶)) = 87,61 Hz

Відповідь

f₀ = 87,61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism