Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +3 µC і заряд −3 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 30 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCr₁ = 30 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +2 µC і +2 µC розташовані на відстані 6 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 4 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCd = 6 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 68 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 10 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 25 ms.

V_s = 15 VR = 3,3 kΩC = 10 µFv_C(0) = 10 Vt = 25 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 50 см ковзає зі швидкістю 4 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,1 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 2,5 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть силу F, потрібну для підтримання сталої швидкості стрижня (тертя немає).

B = 0,1 TL = 50 cmv = 4 m/sR = 2,5 Ω

F = mN

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Альфа-частинка проходить без відхилення крізь селектор швидкостей зі схрещеними полями E = 1 × 10⁵ В/м і B₁ = 0,25 Тл. Потім вона влітає в другу область лише з магнітним полем B₂ = 0,8 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r її траєкторії там.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0,25 TB₂ = 0,8 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 0,1 µF має резонувати на частоті 200 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 200 HzC = 0,1 µF

L = mH

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 24 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 50 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,997 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,3² = 299667 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,1² = 2,697 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |299667 + 2,697 × 10⁶| = 2,997 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 2,997 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 1,151 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(3² + 4²) = 5 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,05² = 7,192 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж прямої, що з’єднує заряди, компенсуються.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·7,192 × 10⁶·0,8 = 1,151 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 1,151 × 10⁷ N/C

Поле спрямоване вздовж серединного перпендикуляра, від зарядів.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,4034 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω

R_eq = R₁ + 2,308 = 20 + 2,308 = 22,31 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/22,31 = 0,4034 A

Відповідь

I_R1 = 0,4034 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,759 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 3 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 8,571 Ω

R₃ + 8,571 = 28,57 Ω

R₂ ∥ 28,57 = 4,255 Ω

R_eq = R₁ + 4,255 = 5 + 4,255 = 9,255 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,255 = 3,241 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3,241·5 = 13,79 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,79/5 = 2,759 A

Відповідь

I_R2 = 2,759 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1012 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0,6912 ms

i(∞) = V_s/R = 9/68 = 0,1324 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1324·(1 − e^−1/0,6912) = 0,1012 A

Відповідь

i = 0,1012 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 12,66 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms

v_C(t) = 15 + (10 − 15)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(25) = 15 + (−5)·e^−25/33 = 12,66 V

Відповідь

v_C = 12,66 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F = 4 mN

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,1·0,5·4 = 0,2 V

Струм

I = ε/R = 0,2/2,5 = 0,08 A

Гальмівна сила

Правило Ленца: сила, що діє на індукований струм, протидіє руху.

F = BIL = 0,1·0,08·0,5 = 0,004 N

Відповідь

F = 4 mN

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 1,037 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0,25 = 400000 m/s

Радіус у другому полі

r = mv/(|q|B₂) = 0,01037 m = 1,037 cm

Відповідь

r = 1,037 cm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 6333 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·0,1·10⁻⁶) = 6333 mH

Відповідь

L = 6333 mH

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 339,4 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 24/50 = 0,48 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 14142·0,05 = 707,1 Ω

V_L = I·X_L = 0,48·707,1 = 339,4 V

Відповідь

V_L = 339,4 V

Це в Q = 14,14 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism