Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −8 µC ліворуч, −8 µC праворуч на відстані 30 cm і +1 µC між ними, на відстані 22,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −8 µCq_R = −8 µCq_M = +1 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 3 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 4 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 1 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 1 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 100 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 24 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 14,4 V? Знайдіть t.

V_s = 12 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 24 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 500 витків, площею 100 cm² і опором 25 Ом утворює замкнене коло. Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,1 Тл до 0,9 Тл за 10 мс. Знайдіть середній індукований струм I.

N = 500A = 100 cm²B: 0,1 T → 0,9 TΔt = 10 msR = 25 Ω

I = A

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

У селекторі швидкостей схрещені поля E = 2 × 10⁴ В/м і B = 0,25 Тл пропускають прямо лише іони однієї швидкості. Знайдіть цю швидкість v.

E = 2 × 10⁴ V/mB₁ = 0,25 T

v = m/s

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 22 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 11,37 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = −k·8·1 × 10⁻¹²/0,225² = −1,421 N

F_R = +k·8·1 × 10⁻¹²/0,075² = 12,79 N

Результуюча сила

F = −1,421 + (12,79) = 11,37 N → |F| = 11,37 N

Відповідь

F = 11,37 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 119,9 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·4·3 × 10⁻¹²/0,03² = 119,9 N

F₂ = k·1·3 × 10⁻¹²/0,08² = 4,214 N

Векторна сума

F = √(119,9² + 4,214²) = 119,9 N

Відповідь

F = 119,9 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,504 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 6 + 10 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3,81 Ω

R_eq = R₁ + 3,81 = 20 + 3,81 = 23,81 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/23,81 = 0,504 A

Відповідь

I_R1 = 0,504 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 41,6 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 30 + 10 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 17,14 Ω

R₃ + 17,14 = 37,14 Ω

R₂ ∥ 37,14 = 16,6 Ω

R_eq = R₁ + 16,6 = 25 + 16,6 = 41,6 Ω

Відповідь

R_eq = 41,6 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,07585 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 100 mH / 100 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 12/100 = 0,12 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,12·(1 − e^−1/1) = 0,07585 A

Відповідь

i = 0,07585 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 756,4 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 12 + (24 − 12)·e^−t/τ

Виразіть час

14,4 = 12 + (12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14,4 − 12)/(24 − 12) = 0,2

t = τ·ln((24 − 12)/(14,4 − 12)) = 470·ln(5) = 756,4 ms

Відповідь

t = 756,4 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 16 A

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,9 − 0,1)·0,01 = 0,008 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,008/0,01 = 400 V

Струм

I = ε/R = 400/25 = 16 A

Відповідь

I = 16 A

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: v = 80000 m/s

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁴/0,25 = 80000 m/s

Відповідь

v = 80000 m/s

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 18,43 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (26,66)²) = 84,33 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(26,66/80) = 18,43°

Відповідь

φ = 18,43°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 1,291 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3,386 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (310,8)²) = 314,8 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/314,8 = 0,3812 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,3812·3,386 = 1,291 V

Відповідь

V_C = 1,291 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism