Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +5 µC і заряд +6 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 7,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +5 µCq₂ = +6 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 2,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 5 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 50 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 20° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 50 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 95% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 30 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 13,2 V? Знайдіть t.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 15 см один від одного проводять струми 10 А і 8 А у протилежних напрямках. Знайдіть модуль магнітної індукції B у точці P посередині між ними.

I₁ = 10 AI₂ = 8 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 50 витків, 5 см × 15 см, обертається в однорідному полі 0,1 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 4,998 В?

N = 50A = 5 cm × 15 cmB = 0,1 TE_rms = 4,998 V

n = rpm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 7,831 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,075² = 7,991 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,025² = 8,63 × 10⁷ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |7,991 × 10⁶ − 8,63 × 10⁷| = 7,831 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 7,831 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 482 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 20° = 0,342 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,342·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 4,82 × 10⁻⁷ C = 482 nC

Відповідь

q = 482 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 3,12 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω

R_eq = R₁ + 4,615 = 5 + 4,615 = 9,615 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,615 = 3,12 A

Відповідь

I_R1 = 3,12 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,5939 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4 Ω

R₃ + 4 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 4,839 Ω

R_eq = R₁ + 4,839 = 12 + 4,839 = 16,84 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/16,84 = 0,5939 A

Відповідь

I_R1 = 0,5939 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 7,04 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0,5 A

Виразіть час

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −2,35·ln(0,05) = 7,04 ms

Відповідь

t = 7,04 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 75,64 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

Виразіть час

13,2 = 9 + (21)·e^−t/τ → e^−t/τ = (13,2 − 9)/(30 − 9) = 0,2

t = τ·ln((30 − 9)/(13,2 − 9)) = 47·ln(5) = 75,64 ms

Відповідь

t = 75,64 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 48 µT

Магнітне поле струмів: навколо довгого прямого дроту лінії поля — кола (правило правої руки), і B = μ₀I/(2πr). У центрі плоскої колової котушки з N витків B = μ₀NI/(2R). Усередині довгого соленоїда поле однорідне, B = μ₀nI, де n = N/L витків на метр, незалежно від радіуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ Тл·м/А. Працюйте в одиницях СІ (метри й ампери) і додавайте поля кількох джерел як вектори.

Поле кожного провідника в точці P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·10/0,075 = 26,67 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·8/0,075 = 21,33 µT

Об’єднайте

B = B₁ + B₂ = 48 µT

Відповідь

B = 48 µT

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 1800 rpm

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·E_rms = 7,068 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 7,068/(50·0,1·0,0075) = 188,5 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·188,5/(2π) = 1800 rpm

Відповідь

n = 1800 rpm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −84,86 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·2,2·10⁻⁶) = 1206 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1111)²) = 1116 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−1111/100) = −84,86°

Відповідь

φ = −84,86°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 87,61 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,15·22·10⁻⁶)) = 87,61 Hz

Відповідь

f₀ = 87,61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism