Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −8 µC ліворуч, −6 µC праворуч на відстані 10 cm і −6 µC між ними, на відстані 2,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −8 µCq_R = −6 µCq_M = −6 µCr_L = 2,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 8 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 80 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 12° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 80 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть напругу v_L на котушці в момент t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 9 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 6,75 V, рівно через 1000 ms після старту. При R = 1 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 9 VV_th = 6,75 VT = 1000 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон, що рухається зі швидкістю 2,5 × 10⁶ м/с, влітає в однорідне магнітне поле під прямим кутом і рухається по колу радіусом 0,1777 см. Знайдіть магнітну індукцію B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sr = 0,1777 cm

B = mT

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 1500 витків, довжину 20 см і діаметр 3 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 1500l = 20 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 632,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·8·6 × 10⁻¹²/0,025² = 690,4 N

F_R = −k·6·6 × 10⁻¹²/0,075² = −57,54 N

Результуюча сила

F = 690,4 + (−57,54) = 632,9 N → |F| = 632,9 N

Відповідь

F = 632,9 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 453,1 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 12° = 0,01668 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 12° = 0,3327 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3327·√(0,01668/8,99 × 10⁹) = 4,531 × 10⁻⁷ C = 453,1 nC

Відповідь

q = 453,1 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2419 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 12 + 5,714 = 17,71 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/17,71 = 0,3387 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,3387·12 = 1,935 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,935/8 = 0,2419 A

Відповідь

I_R2 = 0,2419 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 8,121 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 6 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 1,778 Ω

R₃ + 1,778 = 4,778 Ω

R₂ ∥ 4,778 = 4,121 Ω

R_eq = R₁ + 4,121 = 4 + 4,121 = 8,121 Ω

Відповідь

R_eq = 8,121 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_L = 0,2728 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 6/68 = 0,08824 A

Напруга на котушці

У момент t = 0 уся напруга живлення прикладена до котушки; далі вона спадає до нуля.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/0,3235 = 0,2728 V

Відповідь

v_L = 0,2728 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 721,3 µF

Потрібна стала часу

6,75 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 6,75))

τ = 1000/1,386 = 721,3 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 721,3/1 = 721,3 µF

Відповідь

C = 721,3 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 7,999 mT

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Поле за радіусом

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·2,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001777) = 7,999 mT

Відповідь

B = 7,999 mT

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 9,993 mH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,015)² = 0,0007069 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1500²·0,0007069/0,2 = 0,009993 H = 9,993 mH

Відповідь

L = 9,993 mH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 85,35 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (307,4)²) = 308,4 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(307,4/25) = 85,35°

Відповідь

φ = 85,35°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,5 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (53,32)²) = 66,66 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 100/66,66 = 1,5 A

Відповідь

I = 1,5 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism