Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +5 µC і −6 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 15 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −6 µCr = 15 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 2 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 1 µC — на відстані 4 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 8 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть сталу часу τ кола після замикання ключа.

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 100 µF

τ = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 6 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 150 ms.

V_s = 10 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 6 Vt = 150 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон рухається униз по сторінці в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що на нього діє.

v: униз по сторінціB: у площину сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Протон проходить без відхилення крізь селектор швидкостей зі схрещеними полями E = 8 × 10⁴ В/м і B₁ = 0,5 Тл. Потім вона влітає в другу область лише з магнітним полем B₂ = 0,4 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r її траєкторії там.

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0,5 TB₂ = 0,4 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення напруги V_C на конденсаторі.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_C = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 0,09989 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (5 + −6)/2 = −0,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,09989 N

Відповідь

F = 0,09989 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 18,25 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·1·2 × 10⁻¹²/0,04² = 11,24 N

F₂ = k·8·2 × 10⁻¹²/0,1² = 14,38 N

Векторна сума

F = √(11,24² + 14,38²) = 18,25 N

Відповідь

F = 18,25 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 16,56 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 15 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 6·19/(6+19) = 4,56 Ω

R_eq = R₁ + 4,56 = 12 + 4,56 = 16,56 Ω

Відповідь

R_eq = 16,56 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2609 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 10 + 12 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 12,69 Ω

R₃ + 12,69 = 27,69 Ω

R₂ ∥ 27,69 = 14,4 Ω

R_eq = R₁ + 14,4 = 4 + 14,4 = 18,4 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18,4 = 0,5435 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,5435·4 = 7,826 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,826/30 = 0,2609 A

Відповідь

I_R2 = 0,2609 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: τ = 90,91 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти R_th; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 6·1/(10 + 1) = 0,5455 V

Стала часу

τ = R_th·C = 0,9091·100 = 90,91 ms

Відповідь

τ = 90,91 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 7,498 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 10 + (6 − 10)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(150) = 10 + (−4)·e^−150/319,6 = 7,498 V

Відповідь

v_C = 7,498 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ліворуч

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

v: униз по сторінці, B: у площину сторінки

Від’ємний заряд

Сила, що діє на електрон, протилежна до сили, що діє на додатний заряд.

Напрямок сили

ліворуч

Відповідь

F: ліворуч

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 0,4177 cm

Вибрана швидкість

Без відхилення: електрична сила qE зрівноважує магнітну силу qvB.

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0,5 = 160000 m/s

Радіус у другому полі

r = mv/(|q|B₂) = 0,004177 m = 0,4177 cm

Відповідь

r = 0,4177 cm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 2,473 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (91,8)²) = 93,02 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 230/93,02 = 2,473 A

Відповідь

I = 2,473 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_C = 21,87 V

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (171,7)²) = 181,9 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 50/181,9 = 0,2748 A

Напруга на конденсаторі

V_C = I·X_C = 0,2748·79,58 = 21,87 V

Відповідь

V_C = 21,87 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism