Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +1 µC і +2 µC розташовані на відстані 100 cm. На якій відстані x від заряду +1 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCd = 100 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 1 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 6 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 5 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 5 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 2 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,4 A? Знайдіть t.

i(0) = 2 AR = 22 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 100 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 47 µFt = 100 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 40 см ковзає зі швидкістю 1 м/с по двох рейках в однорідному полі 1 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 4 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть силу F, потрібну для підтримання сталої швидкості стрижня (тертя немає).

B = 1 TL = 40 cmv = 1 m/sR = 4 Ω

F = mN

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 10 мГн рівномірно змінюється від 1,5 А до 1 А за 2 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 10 mH1,5 A → 1 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 41,42 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

1/x² = 2/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(2/1) = 1,414

Положення

x = 100/(1 + 1,414) = 41,42 cm

Відповідь

x = 41,42 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 15,06 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·6·1 × 10⁻¹²/0,08² = 8,428 N

F₂ = k·5·1 × 10⁻¹²/0,06² = 12,49 N

Векторна сума

F = √(8,428² + 12,49²) = 15,06 N

Відповідь

F = 15,06 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,314 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3,611 Ω

R_eq = R₁ + 3,611 = 4 + 3,611 = 7,611 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7,611 = 1,314 A

Відповідь

I_R1 = 1,314 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,8172 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 15 + 4 = 19 Ω

R₄ ∥ 19 = 8,382 Ω

R₃ + 8,382 = 20,38 Ω

R₂ ∥ 20,38 = 3,344 Ω

R_eq = R₁ + 3,344 = 12 + 3,344 = 15,34 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/15,34 = 0,9776 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,9776·12 = 3,269 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,269/4 = 0,8172 A

Відповідь

I_R2 = 0,8172 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,7316 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

Виразіть час

0,4 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0,4)

t = 0,4545·ln(5) = 0,7316 ms

Відповідь

t = 0,7316 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 0,2291 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 15·1/(6,8 + 1) = 1,923 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 1·47 = 47 ms

Розряджання

v_C(t) = 1,923·e^−100/47 = 0,2291 V

Відповідь

v_C = 0,2291 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F = 40 mN

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 1·0,4·1 = 0,4 V

Струм

I = ε/R = 0,4/4 = 0,1 A

Гальмівна сила

Правило Ленца: сила, що діє на індукований струм, протидіє руху.

F = BIL = 1·0,1·0,4 = 0,04 N

Відповідь

F = 40 mN

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 2,5 V

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,01·0,5/0,002 = 2,5 V

Відповідь

ε = 2,5 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,05251 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−189,9)²) = 190,5 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/190,5 = 0,05251 A

Відповідь

I = 0,05251 A

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 355,9 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Відповідь

f₀ = 355,9 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism