Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +5 µC і +10 µC розташовані на відстані 60 cm. На якій відстані x від заряду +5 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +5 µCq₂ = +10 µCd = 60 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +4 µC і −4 µC розташовані на відстані 10 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 6 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCd = 10 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 10 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 15,6 V? Знайдіть t.

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 100 µFv_C(0) = 10 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим зі сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.

B: зі сторінкивходить у поле

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 1500 витків, довжину 50 см і діаметр 5 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 4 А.

N = 1500l = 50 cm⌀ = 5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 100 ΩC = 4,7 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 24,85 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

5/x² = 10/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(10/5) = 1,414

Положення

x = 60/(1 + 1,414) = 24,85 cm

Відповідь

x = 24,85 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 7,548 × 10⁶ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(5² + 6²) = 7,81 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,0781² = 5,895 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·5,895 × 10⁶·0,6402 = 7,548 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 7,548 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,6667 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 6 + 7,5 = 13,5 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,5 = 1,778 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,778·6 = 13,33 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,33/20 = 0,6667 A

Відповідь

I_R2 = 0,6667 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 9,864 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 5 + 2 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 5,469 Ω

R₃ + 5,469 = 9,469 Ω

R₂ ∥ 9,469 = 4,864 Ω

R_eq = R₁ + 4,864 = 5 + 4,864 = 9,864 Ω

Відповідь

R_eq = 9,864 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,5188 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms

i(∞) = V_s/R = 12/20 = 0,6 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6·(1 − e^−1/0,5) = 0,5188 A

Відповідь

i = 0,5188 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 51,08 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms

v_C(t) = 24 + (10 − 24)·e^−t/τ

Виразіть час

15,6 = 24 + (−14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,6 − 24)/(10 − 24) = 0,6

t = τ·ln((10 − 24)/(15,6 − 24)) = 100·ln(1,667) = 51,08 ms

Відповідь

t = 51,08 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: за годинниковою стрілкою

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік зі сторінки зростає, або потік у площину сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: у площину сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

за годинниковою стрілкою

Відповідь

за годинниковою стрілкою

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 88,83 mJ

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 11,1 mH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,0111·4² = 0,08883 J = 88,83 mJ

Відповідь

W = 88,83 mJ

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,3156

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 157,1 Ω, X_C = 6,773 Ω

Повний опір

|Z| = √(50² + (150,3)²) = 158,4 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 50/158,4 = 0,3156

Коло індуктивне, тож коефіцієнт потужності індуктивний (струм відстає).

Відповідь

cos φ = 0,3156

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 1,707 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·100·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 91,98 − j27,16 Ω

Повний опір

Z = 40 + 91,98 − j27,16 = 132 − j27,16 Ω

|Z| = √(132² + 27,16²) = 134,7 Ω

Струм

I = V/|Z| = 230/134,7 = 1,707 A

Відповідь

I = 1,707 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism