Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +4 µC і +2 µC розташовані на відстані 60 cm. На якій відстані x від заряду +4 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCd = 60 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 1 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 90% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 20 ms.

V_s = 24 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 8 Vt = 20 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 200 витків має площу 25 cm². Котушка перебуває в однорідному полі 0,8 Тл, перпендикулярному до її площини, і поле вимикають за 20 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 200A = 25 cm²B = 0,8 TΔt = 20 ms

ε = V

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Коротку котушку з 50 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 2000 витків, довжиною 25 см і діаметром 2 см. Знайдіть їхню взаємну індуктивність M.

N₁ = 2000N₂ = 50l = 25 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Резистор і конденсатор з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 1 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 1 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 35,15 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

4/x² = 2/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(2/4) = 0,7071

Положення

x = 60/(1 + 0,7071) = 35,15 cm

Відповідь

x = 35,15 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 181,1 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·6 × 10⁻¹²/0,03² = 179,8 N

F₂ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,05² = 21,58 N

Векторна сума

F = √(179,8² + 21,58²) = 181,1 N

Відповідь

F = 181,1 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,368 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω

R_eq = R₁ + 1,5 = 8 + 1,5 = 9,5 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,5 = 3,158 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3,158·8 = 4,737 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,737/2 = 2,368 A

Відповідь

I_R2 = 2,368 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,036 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 25 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 11,54 Ω

R₃ + 11,54 = 14,54 Ω

R₂ ∥ 14,54 = 4,247 Ω

R_eq = R₁ + 4,247 = 6 + 4,247 = 10,25 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/10,25 = 1,464 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,464·6 = 6,217 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,217/6 = 1,036 A

Відповідь

I_R2 = 1,036 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 6,908 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0,1 A

Виразіть час

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −3·ln(0,1) = 6,908 ms

Відповідь

t = 6,908 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 13,42 V

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 24 + (8 − 24)·e^−t/τ

Напруга в заданий момент

v_C(20) = 24 + (−16)·e^−20/48,4 = 13,42 V

Відповідь

v_C = 13,42 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 20 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 0,8·0,0025 = 0,002 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,002/0,02 = 20 V

Відповідь

ε = 20 V

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: M = 157,9 µH

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·50·0,0003142/0,25 = 157,9 µH

Відповідь

M = 157,9 µH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −32,14 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

I_R = V/R = 50/10 = 5 A

I_X = V/X_C = 50/15,92 = 3,142 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(I_R² + I_X²) = √(5² + 3,142²) = 5,905 A

Кут зсуву фаз

Струм конденсатора випереджає V, тож загальний струм випереджає, і кут від’ємний.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(3,142/5) = −32,14°

Відповідь

φ = −32,14°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 7,538 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,22·10⁻⁶) = 30151 rad/s

I = V/R = 1/20 = 0,05 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 30151·0,005 = 150,8 Ω

V_L = I·X_L = 0,05·150,8 = 7,538 V

Відповідь

V_L = 7,538 V

Це в Q = 7,538 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism