Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
−−4 µC++5 µC−−10 µC10 cm + 10 cm

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −4 µC ліворуч, −10 µC праворуч на відстані 20 cm і +5 µC між ними, на відстані 10 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −4 µCqR = −10 µCqM = +5 µCrL = 10 cmrR = 10 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
L = 30 cm8°qq

Дві однакові маленькі кульки масою 5 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 30 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 8° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 30 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​4 ΩB

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 30 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBR6​3 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 15 ΩR5 = 15 ΩR6 = 3 Ω
IR1 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​6 Vt = 0R = 33 ΩL33 mHi(t)

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

Vs = 6 VR = 33 ΩL = 33 mHt = 1 ms
i = A
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​9 Vt = 0R = 4,7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 4 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 50 ms.

Vs = 9 VR = 4,7 kΩC = 22 µFvC(0) = 4 Vt = 50 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 50 cm², N = 25B: 0,05 → 0,25 T

Котушка з 25 витків, площею 50 cm² і опором 5 Ом утворює замкнене коло. Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0,05 Тл до 0,25 Тл за 250 мс. Знайдіть середній індукований струм I.

N = 25A = 50 cm²B: 0,05 T → 0,25 TΔt = 250 msR = 5 Ω
I = mA
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
l = 40 cmN = 400, ⌀ 2 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 400 витків, довжину 40 см і діаметр 2 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 400l = 40 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Vf0​ = 2000 HzRL = ?C = 47 µF

Послідовне RLC-коло з C = 47 µF має резонувати на частоті 2000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f0 = 2000 HzC = 47 µF
L = mH
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
24 Vf0​R = 20 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 24 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги VL на котушці.

V = 24 V (rms)R = 20 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
VL = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 26,97 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

FL = −k·4·5 × 10⁻¹²/0,1² = −17,98 N
FR = +k·10·5 × 10⁻¹²/0,1² = 44,95 N

Результуюча сила

F = −17,98 + (44,95) = 26,97 N → |F| = 26,97 N

Відповідь

F = 26,97 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 73,12 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 8° = 0,006894 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 8° = 0,0835 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,0835·√(0,006894/8,99 × 10⁹) = 7,312 × 10⁻⁸ C = 73,12 nC

Відповідь

q = 73,12 nC
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 12,44 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 8 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​10 ΩAR4​4 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 4 + 4 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
Req = R1 + 4,444 = 8 + 4,444 = 12,44 Ω

Відповідь

Req = 12,44 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,2319 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 30 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​15 ΩBR6​3 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 15 + 3 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 8,182 Ω
R3 + 8,182 = 38,18 Ω
R2 ∥ 38,18 = 13,13 Ω
Req = R1 + 13,13 = 30 + 13,13 = 43,13 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/43,13 = 0,2319 A

Відповідь

IR1 = 0,2319 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1149 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 6/33 = 0,1818 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,1818·(1 − e−1/1) = 0,1149 A

Відповідь

i = 0,1149 A
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 5,917 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms
vC(t) = 9 + (4 − 9)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(50) = 9 + (−5)·e−50/103,4 = 5,917 V

Відповідь

vC = 5,917 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 20 mA

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,25 − 0,05)·0,005 = 0,001 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,001/0,25 = 0,1 V

Струм

I = ε/R = 0,1/5 = 0,02 A

Відповідь

I = 20 mA
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 157,9 µH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·400²·0,0003142/0,4 = 0,0001579 H = 157,9 µH

Відповідь

L = 157,9 µH
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 0,1347 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·47·10⁻⁶) = 0,1347 mH

Відповідь

L = 0,1347 mH
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: VL = 255,8 V

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·2,2·10⁻⁶) = 2132 rad/s
I = V/R = 24/20 = 1,2 A

Напруга на котушці

XL = ω₀L = 2132·0,1 = 213,2 Ω
VL = I·XL = 1,2·213,2 = 255,8 V

Відповідь

VL = 255,8 V

Це в Q = 10,66 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism