Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +1 µC і заряд +4 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 10 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +1 µCq₂ = +4 µCr₁ = 10 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 6 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 8 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 0,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

i(0) = 0,5 AR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 15 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 12 V, рівно через 1000 ms після старту. При R = 100 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 1000 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Два довгі паралельні провідники на відстані 4 см один від одного проводять струми 20 А і 10 А в одному напрямку. Знайдіть силу на метр довжини F/L між ними.

I₁ = 20 AI₂ = 10 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Довгий соленоїд без сердечника має 300 витків, довжину 10 см і діаметр 4 см. Знайдіть його індуктивність L.

N = 300l = 10 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 47 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 1000 Hz. Знайдіть резонансну частоту f₀ кола.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

f₀ = Hz

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 499444 N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1² = 899000 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,3² = 399556 N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |899000 − 399556| = 499444 N/C

Відповідь

E = 499444 N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 165,5 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,1² = 43,15 N

F₂ = k·8·8 × 10⁻¹²/0,06² = 159,8 N

Векторна сума

F = √(43,15² + 159,8²) = 165,5 N

Відповідь

F = 165,5 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 17,14 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 10·25/(10+25) = 7,143 Ω

R_eq = R₁ + 7,143 = 10 + 7,143 = 17,14 Ω

Відповідь

R_eq = 17,14 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 11,52 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 2 + 4 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 4 Ω

R₃ + 4 = 29 Ω

R₂ ∥ 29 = 3,515 Ω

R_eq = R₁ + 3,515 = 8 + 3,515 = 11,52 Ω

Відповідь

R_eq = 11,52 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1149 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms

Спадання струму

i(t) = 0,5·e^−5/3,4 = 0,1149 A

Відповідь

i = 0,1149 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 6,213 µF

Потрібна стала часу

12 = 15·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 12))

τ = 1000/1,609 = 621,3 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 621,3/100 = 6,213 µF

Відповідь

C = 6,213 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: F/L = 1000 µN/m

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Сила на метр

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·10/0,04 = 1000 µN/m

Відповідь

F/L = 1000 µN/m

Струми одного напрямку притягуються.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: L = 1,421 mH

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Поперечний переріз

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·0,001257/0,1 = 0,001421 H = 1,421 mH

Відповідь

L = 1,421 mH

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 86,33 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (778,6)²) = 780,2 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(778,6/50) = 86,33°

Відповідь

φ = 86,33°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: f₀ = 519,1 Hz

Резонанс

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC). Частота мережі не має значення.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·4,7·10⁻⁶)) = 519,1 Hz

Відповідь

f₀ = 519,1 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism