Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: −1 µC ліворуч, +10 µC праворуч на відстані 10 cm і −5 µC між ними, на відстані 7,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −1 µCq_R = +10 µCq_M = −5 µCr_L = 7,5 cmr_R = 2,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +8 µC і −8 µC розташовані на відстані 6 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 3 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = −8 µCd = 6 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 8 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 6,5 V? Знайдіть t.

V_s = 5 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Альфа-частинка рухається зі швидкістю 8 × 10⁶ м/с перпендикулярно до однорідного магнітного поля 0,1 T. Знайдіть радіус r його колової траєкторії.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sB = 0,1 T

r = cm

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 100 витків, 8 см × 25 см, обертається в однорідному полі 0,5 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 66,64 В?

N = 100A = 8 cm × 25 cmB = 0,5 TE_rms = 66,64 V

n = rpm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF

P = W

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 12 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 12 V (rms)R = 2 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 727,2 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·1·5 × 10⁻¹²/0,075² = 7,991 N

F_R = +k·10·5 × 10⁻¹²/0,025² = 719,2 N

Результуюча сила

F = 7,991 + (719,2) = 727,2 N → |F| = 727,2 N

Відповідь

F = 727,2 N

Результуюча сила спрямована праворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 5,651 × 10⁷ N/C

Відстань і поле одного заряду

r = √(3² + 3²) = 4,243 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,04243² = 3,996 × 10⁷ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3,996 × 10⁷·0,7071 = 5,651 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 5,651 × 10⁷ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,913 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 12 + 6 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2,571 Ω

R_eq = R₁ + 2,571 = 4 + 2,571 = 6,571 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/6,571 = 0,913 A

Відповідь

I_R1 = 0,913 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 10,73 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 6 + 20 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 13,93 Ω

R₃ + 13,93 = 15,93 Ω

R₂ ∥ 15,93 = 7,725 Ω

R_eq = R₁ + 7,725 = 3 + 7,725 = 10,73 Ω

Відповідь

R_eq = 10,73 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,1469 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms

i(∞) = V_s/R = 10/68 = 0,1471 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1471·(1 − e^−1/0,1471) = 0,1469 A

Відповідь

i = 0,1469 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 155,5 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

Виразіть час

6,5 = 5 + (3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (6,5 − 5)/(8 − 5) = 0,5

t = τ·ln((8 − 5)/(6,5 − 5)) = 224,4·ln(2) = 155,5 ms

Відповідь

t = 155,5 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 165,9 cm

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Рівновага сил

Магнітна сила завжди перпендикулярна до швидкості, тому вона викривляє траєкторію в коло.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Радіус

r = 6,645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,1) = 1,659 m = 165,9 cm

Відповідь

r = 165,9 cm

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 900 rpm

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·E_rms = 94,24 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 94,24/(100·0,5·0,02) = 94,24 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·94,24/(2π) = 900 rpm

Відповідь

n = 900 rpm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 0,05869 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 18,85 Ω, X_C = 265,3 Ω

Повний опір

|Z| = √(25² + (−246,4)²) = 247,7 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 12/247,7 = 0,04845 A

P = I²·R = 0,04845²·25 = 0,05869 W

Відповідь

P = 0,05869 W

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 189,7 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 12/2 = 6 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 6·31,62 = 189,7 V

Відповідь

V_L = 189,7 V

Це в Q = 15,81 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism