Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +6 µC і заряд −3 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 2,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +6 µCq₂ = −3 µCr₁ = 2,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 2 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 40 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 8° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 40 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть енергію W(∞), накопичену в котушці після встановлення режиму, у mJ.

V_s = 20 VR = 15 ΩL = 10 mH

W(∞) = mJ

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 750 ms.

V_s = 20 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 100 µFt = 750 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Металевий стрижень довжиною 60 см ковзає зі швидкістю 5 м/с по двох рейках в однорідному полі 0,2 Тл, спрямованому в площину сторінки. Рейки з’єднані резистором 5 Ом; опором стрижня й рейок можна знехтувати. Знайдіть потужність P, що розсіюється в резисторі.

B = 0,2 TL = 60 cmv = 5 m/sR = 5 Ω

P = mW

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Коротку котушку з 20 витків щільно намотано навколо середини довгого соленоїда з 1500 витків, довжиною 25 см і діаметром 5 см. Струм у соленоїді змінюється зі швидкістю 10 А/с. Знайдіть ЕРС ε, індуковану в короткій котушці.

N₁ = 1500N₂ = 20l = 25 cm⌀ = 5 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть активну потужність P, що споживається від мережі.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

P = W

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 150 ΩC = 10 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 9,11 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,025² = 8,63 × 10⁷ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,075² = 4,795 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |8,63 × 10⁷ + 4,795 × 10⁶| = 9,11 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 9,11 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 61,66 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 8° = 0,002757 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 8° = 0,1113 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1113·√(0,002757/8,99 × 10⁹) = 6,166 × 10⁻⁸ C = 61,66 nC

Відповідь

q = 61,66 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 2,506 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 8 + 15 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6,97 Ω

R_eq = R₁ + 6,97 = 5 + 6,97 = 11,97 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/11,97 = 2,506 A

Відповідь

I_R1 = 2,506 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 2,696 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 4 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 8,889 Ω

R₃ + 8,889 = 13,89 Ω

R₂ ∥ 13,89 = 3,676 Ω

R_eq = R₁ + 3,676 = 3 + 3,676 = 6,676 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/6,676 = 2,696 A

Відповідь

I_R1 = 2,696 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: W(∞) = 8,889 mJ

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 20/15 = 1,333 A

Накопичена енергія

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·1,333² = 8,889 mJ

Відповідь

W(∞) = 8,889 mJ

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 0,6733 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 20·3,3/(6,8 + 3,3) = 6,535 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 3,3·100 = 330 ms

Розряджання

v_C(t) = 6,535·e^−750/330 = 0,6733 V

Відповідь

v_C = 0,6733 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: P = 72 mW

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС руху

ε = BLv = 0,2·0,6·5 = 0,6 V

Струм

I = ε/R = 0,6/5 = 0,12 A

Потужність

P = εI = 0,6·0,12 = 0,072 W

Відповідь

P = 72 mW

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 2,961 mV

Взаємна індуктивність

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·20·0,001963/0,25 = 296,1 µH

Індукована ЕРС

ε = M·di/dt = 0,0002961·10 = 2,961 mV

Відповідь

ε = 2,961 mV

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: P = 1,966 W

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 62,83 Ω, X_C = 144,7 Ω

Повний опір

|Z| = √(25² + (−81,85)²) = 85,59 Ω

Активна потужність

Котушки й конденсатори лише накопичують і повертають енергію; усю активну потужність споживає резистор.

I = 24/85,59 = 0,2804 A

P = I²·R = 0,2804²·25 = 1,966 W

Відповідь

P = 1,966 W

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,6493 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 122,7 − j57,84 Ω

Повний опір

Z = 20 + 122,7 − j57,84 = 142,7 − j57,84 Ω

|Z| = √(142,7² + 57,84²) = 154 Ω

Струм

I = V/|Z| = 100/154 = 0,6493 A

Відповідь

I = 0,6493 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism