Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +1 µC ліворуч, +3 µC праворуч на відстані 30 cm і +1 µC між ними, на відстані 22,5 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +1 µCq_R = +3 µCq_M = +1 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Дві однакові маленькі кульки масою 1 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 40 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 5° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 40 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 3 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 1,5 A? Знайдіть t.

i(0) = 3 AR = 68 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 5 ms.

V_s = 20 VR₁ = 5 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Котушка з 10 витків має площу 10 cm². Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0 Тл до 0,4 Тл за 100 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 10A = 10 cm²B: 0 T → 0,4 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 100 витків, 10 см × 25 см, обертається в однорідному полі 0,2 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 22,21 В?

N = 100A = 10 cm × 25 cmB = 0,2 TE_rms = 22,21 V

n = rpm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 5 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 5 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 4,617 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

F_L = +k·1·1 × 10⁻¹²/0,225² = 0,1776 N

F_R = −k·3·1 × 10⁻¹²/0,075² = −4,795 N

Результуюча сила

F = 0,1776 + (−4,795) = −4,617 N → |F| = 4,617 N

Відповідь

F = 4,617 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: q = 21,54 nC

Електрична сила з умови рівноваги

Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 5° = 0,0008583 N

Відстань між кульками

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 5° = 0,06972 m

Заряд

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,06972·√(0,0008583/8,99 × 10⁹) = 2,154 × 10⁻⁸ C = 21,54 nC

Відповідь

q = 21,54 nC

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,412 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 8 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2,571 Ω

R_eq = R₁ + 2,571 = 12 + 2,571 = 14,57 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/14,57 = 1,647 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,647·12 = 4,235 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,235/3 = 1,412 A

Відповідь

I_R2 = 1,412 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 2,892 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 7,297 Ω

R₃ + 7,297 = 13,3 Ω

R₂ ∥ 13,3 = 2,448 Ω

R_eq = R₁ + 2,448 = 10 + 2,448 = 12,45 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/12,45 = 2,892 A

Відповідь

I_R1 = 2,892 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,4791 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 47 mH / 68 Ω = 0,6912 ms

Виразіть час

1,5 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/1,5)

t = 0,6912·ln(2) = 0,4791 ms

Відповідь

t = 0,4791 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,7388 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 20/5 = 4 A

i(∞) = 20/(5 + 33) = 0,5263 A

τ = L/R = 68/38 = 1,789 ms

i(t) = 0,5263 + (4 − 0,5263)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(5) = 0,5263 + (3,474)·e^−5/1,789 = 0,7388 A

Відповідь

i = 0,7388 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 40 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,4 − 0)·0,001 = 0,0004 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0004/0,1 = 0,04 V

Відповідь

ε = 40 mV

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 599,9 rpm

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·E_rms = 31,41 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 31,41/(100·0,2·0,025) = 62,82 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·62,82/(2π) = 599,9 rpm

Відповідь

n = 599,9 rpm

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −77,99 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−470,1)²) = 480,6 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−470,1/100) = −77,99°

Відповідь

φ = −77,99°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 21,74 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·4,7·10⁻⁶) = 3262 rad/s

I = V/R = 5/15 = 0,3333 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 3262·0,02 = 65,23 Ω

V_L = I·X_L = 0,3333·65,23 = 21,74 V

Відповідь

V_L = 21,74 V

Це в Q = 4,349 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism