Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +8 µC і заряд +4 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 7,5 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +8 µCq₂ = +4 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 2,5 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 8 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 3 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 1 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 1,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,375 A? Знайдіть t.

i(0) = 1,5 AR = 100 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 2 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 10 V? Знайдіть t.

V_s = 12 VR = 6,8 kΩC = 33 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон рухається ліворуч в однорідному магнітному полі, спрямованому у площину сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що на нього діє.

v: ліворучB: у площину сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Альфа-частинка починає рух зі стану спокою, прискорюється в різниці потенціалів 2000 В, а потім влітає в однорідне магнітне поле 0,25 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r його траєкторії в полі.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0,25 T

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з C = 10 µF має резонувати на частоті 5000 Hz. Знайдіть потрібну індуктивність L.

f₀ = 5000 HzC = 10 µF

L = mH

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 120 V (діюче значення), 60 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 4,475 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,075² = 1,279 × 10⁷ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,025² = 5,754 × 10⁷ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |1,279 × 10⁷ − 5,754 × 10⁷| = 4,475 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 4,475 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 82,77 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,1² = 21,58 N

F₂ = k·1·8 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

Векторна сума

F = √(21,58² + 79,91²) = 82,77 N

Відповідь

F = 82,77 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,8442 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 5 + 8 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω

R_eq = R₁ + 3,059 = 6 + 3,059 = 9,059 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9,059 = 1,104 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,104·6 = 3,377 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,377/4 = 0,8442 A

Відповідь

I_R2 = 0,8442 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 1,632 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 12 + 4 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 6,857 Ω

R₃ + 6,857 = 11,86 Ω

R₂ ∥ 11,86 = 5,964 Ω

R_eq = R₁ + 5,964 = 5 + 5,964 = 10,96 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/10,96 = 3,283 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 3,283·5 = 19,58 V

I_R2 = V_A/R₂ = 19,58/12 = 1,632 A

Відповідь

I_R2 = 1,632 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 0,4575 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

Виразіть час

0,375 = 1,5·e^−t/τ → t = τ·ln(1,5/0,375)

t = 0,33·ln(4) = 0,4575 ms

Відповідь

t = 0,4575 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 361,2 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 12 + (2 − 12)·e^−t/τ

Виразіть час

10 = 12 + (−10)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10 − 12)/(2 − 12) = 0,2

t = τ·ln((2 − 12)/(10 − 12)) = 224,4·ln(5) = 361,2 ms

Відповідь

t = 361,2 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: униз по сторінці

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

v: ліворуч, B: у площину сторінки

Напрямок сили

униз по сторінці

Відповідь

F: униз по сторінці

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 3,643 cm

Швидкість після прискорення

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 439166 m/s

Радіус у полі

r = mv/(|q|B) = 0,03643 m = 3,643 cm

Відповідь

r = 3,643 cm

Разом: r = √(2mV/|q|)/B, тож важчі іони з тим самим зарядом рухаються по більших колах; так розділяють ізотопи.

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: L = 0,1013 mH

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·10·10⁻⁶) = 0,1013 mH

Відповідь

L = 0,1013 mH

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,0998 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·2,2·10⁻⁶) = 1206 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1198)²) = 1202 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 120/1202 = 0,0998 A

Відповідь

I = 0,0998 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism