Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +5 µC і заряд +1 µC розташовані на відстані 10 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 4 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +5 µCq₂ = +1 µCr₁ = 4 cmr₂ = 6 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Електрон влітає в однорідне поле між двома паралельними пластинами, рухаючись паралельно їм зі швидкістю 5 × 10⁷ m/s. Довжина пластин 6 cm, напруженість поля між ними 4000 N/C. Заряд електрона 1,602 × 10⁻¹⁹ C, маса 9,109 × 10⁻³¹ kg; силою тяжіння знехтуйте. На яку відстань y він відхилиться вбік на виході з пластин? Дайте відповідь у mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.

V_s = 20 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 20 V з указаною полярністю. За який час v_C досягне 8,8 V? Знайдіть t.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Електрон рухається ліворуч в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Клікніть напрямок магнітної сили, що на нього діє.

v: ліворучB: зі сторінки

1угору по сторінці
2праворуч
3униз по сторінці
4ліворуч

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Протон починає рух зі стану спокою, прискорюється в різниці потенціалів 500 В, а потім влітає в однорідне магнітне поле 0,3 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r його траєкторії в полі.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0,3 T

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 1 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне коло RLC підключено до мережі 10 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,56 × 10⁷ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,04² = 2,809 × 10⁷ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,06² = 2,497 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |2,809 × 10⁷ − 2,497 × 10⁶| = 2,56 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 2,56 × 10⁷ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: y = 0,5065 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Час між пластинами

t = L/v₀ = 0,06/5 × 10⁷ = 1,2 × 10⁻⁹ s

Поперечне прискорення

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4000/9,109 × 10⁻³¹ = 7,035 × 10¹⁴ m/s²

Прогин

y = ½·a·t² = ½·7,035 × 10¹⁴·(1,2 × 10⁻⁹)² = 0,0005065 m = 0,5065 mm

Відповідь

y = 0,5065 mm

Електрон відхиляється до додатної пластини, проти напрямку поля.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 10,84 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

R_eq = R₁ + 4,839 = 6 + 4,839 = 10,84 Ω

Відповідь

R_eq = 10,84 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 8,714 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 25 + 5 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 10 Ω

R₃ + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 5,714 Ω

R_eq = R₁ + 5,714 = 3 + 5,714 = 8,714 Ω

Відповідь

R_eq = 8,714 Ω

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 1,794 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 20/10 = 2 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 2·(1 − e^−5/2,2) = 1,794 A

Відповідь

i = 1,794 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 355,5 ms

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms

v_C(t) = 6 + (20 − 6)·e^−t/τ

Виразіть час

8,8 = 6 + (14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,8 − 6)/(20 − 6) = 0,2

t = τ·ln((20 − 6)/(8,8 − 6)) = 220,9·ln(5) = 355,5 ms

Відповідь

t = 355,5 ms

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: униз по сторінці

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Правило правої руки

Спрямуйте пальці вздовж струму або швидкості й зігніть їх до B; великий палець указує силу, що діє на додатний заряд.

v: ліворуч, B: зі сторінки

Від’ємний заряд

Сила, що діє на електрон, протилежна до сили, що діє на додатний заряд.

Напрямок сили

униз по сторінці

Відповідь

F: униз по сторінці

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 1,077 cm

Швидкість після прискорення

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 309445 m/s

Радіус у полі

r = mv/(|q|B) = 0,01077 m = 1,077 cm

Відповідь

r = 1,077 cm

Разом: r = √(2mV/|q|)/B, тож важчі іони з тим самим зарядом рухаються по більших колах; так розділяють ізотопи.

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = 86,94 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (467,1)²) = 467,8 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(467,1/25) = 86,94°

Відповідь

φ = 86,94°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,06526 A

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (144,8)²) = 153,2 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 10/153,2 = 0,06526 A

Відповідь

I = 0,06526 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism