Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++5 µC−−1 µC−−2 µC15 cm + 15 cm

Три точкові заряди лежать на одній прямій: +5 µC ліворуч, −2 µC праворуч на відстані 30 cm і −1 µC між ними, на відстані 15 cm від лівого заряду. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на середній заряд. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +5 µCqR = −2 µCqM = −1 µCrL = 15 cmrR = 15 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
3 cm8 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +4 µC

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 1 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 4 µC — на відстані 3 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 4 µC — на відстані 8 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q1 = 4 µCq2 = 4 µCq3 = 1 µCr13 = 3 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 2 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 10 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
+−Vs​9 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4,7 kΩC33 µF+−vC​

Джерело Vₛ заряджає конденсатор через R₁, а R₂ під’єднано паралельно C. Конденсатор розряджений, коли вимикач замикається в момент t = 0. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 60 ms.

Vs = 9 VR1 = 1 kΩR2 = 4,7 kΩC = 33 µFt = 60 ms
vC = V
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​6 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 15 V з указаною полярністю. За який час vC досягне 7,8 V? Знайдіть t.

Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 15 V
t = ms
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 10 cm², N = 50B = 0,3 T

Котушка з 50 витків має площу 10 cm². Котушка перебуває в однорідному полі 0,3 Тл, перпендикулярному до її площини, і поле вимикають за 40 мс. Знайдіть середню індуковану ЕРС ε.

N = 50A = 10 cm²B = 0,3 TΔt = 40 ms
ε = mV
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Bn = ?10 cm × 15 cmN = 150B = 0,3 T

Котушка з 150 витків, 10 см × 15 см, обертається в однорідному полі 0,3 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. З якою частотою обертання n (в обертах за хвилину) вона має обертатися, щоб діюча ЕРС становила 29,99 В?

N = 150A = 10 cm × 15 cmB = 0,3 TErms = 29,99 V
n = rpm
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
100 V200 HzR = 40 ΩL = 20 mHI

Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 200 Hz. Знайдіть модуль повного опору |Z|.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
VfR = 20 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF

Послідовне RLC-коло має R = 20 Ω, L = 1 mH і C = 0,47 µF. Знайдіть його добротність Q при резонансі.

R = 20 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF
Q =

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 2,797 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Сила від кожного заряду

Напрямок праворуч додатний.

FL = −k·5·1 × 10⁻¹²/0,15² = −1,998 N
FR = −k·2·1 × 10⁻¹²/0,15² = −0,7991 N

Результуюча сила

F = −1,998 + (−0,7991) = −2,797 N → |F| = 2,797 N

Відповідь

F = 2,797 N

Результуюча сила спрямована ліворуч.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 40,35 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F1 = k·4·1 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N
F2 = k·4·1 × 10⁻¹²/0,08² = 5,619 N

Векторна сума

F = √(39,96² + 5,619²) = 40,35 N

Відповідь

F = 40,35 N
3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,6463 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​8 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 10 + 8 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 20·18/(20+18) = 9,474 Ω
Req = R1 + 9,474 = 6 + 9,474 = 15,47 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/15,47 = 0,6463 A

Відповідь

IR1 = 0,6463 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: Req = 8,188 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAR4​10 ΩBR6​30 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 7,778 Ω
R3 + 7,778 = 12,78 Ω
R2 ∥ 12,78 = 6,188 Ω
Req = R1 + 6,188 = 2 + 6,188 = 8,188 Ω

Відповідь

Req = 8,188 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 6,603 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Еквівалентна схема Тевенена з боку конденсатора

Закоротіть джерело, щоб знайти Rth; розімкніть конденсатор, щоб знайти напругу, до якої він зарядиться.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·4,7/(1 + 4,7) = 0,8246 kΩ
vC(∞) = 9·4,7/(1 + 4,7) = 7,421 V

Стала часу

τ = Rth·C = 0,8246·33 = 27,21 ms

Крива заряджання

vC(t) = 7,421·(1 − e−60/27,21) = 6,603 V

Відповідь

vC = 6,603 V
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 160,9 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 6 + (15 − 6)·e−t/τ

Виразіть час

7,8 = 6 + (9)·e−t/τ → e−t/τ = (7,8 − 6)/(15 − 6) = 0,2
t = τ·ln((15 − 6)/(7,8 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms

Відповідь

t = 160,9 ms
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 375 mV

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = 0,3·0,001 = 0,0003 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0003/0,04 = 0,375 V

Відповідь

ε = 375 mV
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: n = 600 rpm

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Амплітудна ЕРС

E₀ = √2·Erms = 42,41 V

Кутова швидкість

ω = E₀/(NBA) = 42,41/(150·0,3·0,015) = 62,83 rad/s

Оберти за хвилину

n = 60·62,83/(2π) = 600 rpm

Відповідь

n = 600 rpm
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: |Z| = 21,28 Ω

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивний опір

XL = ωL = 2π·200·0,02 = 25,13 Ω

Струми віток

Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.

IR = V/R = 100/40 = 2,5 A
IX = V/XL = 100/25,13 = 3,979 A

Загальний струм

Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.

I = √(IR² + IX²) = √(2,5² + 3,979²) = 4,699 A

Повний опір

|Z| = V/I = 100/4,699 = 21,28 Ω

Відповідь

|Z| = 21,28 Ω
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: Q = 2,306

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Резонансна частота

f0 = 1/(2π·√(0,001·0,47·10⁻⁶)) = 7341 Hz

Добротність

Q порівнює реактивний опір при резонансі з активним опором: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,001/(0,47·10⁻⁶)) = 2,306

Відповідь

Q = 2,306

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism