Закон Кулона й електричне поле
- Закон Кулона
- F = k·|q1q2|/r²
- Поле точкового заряду
- E = k·|q|/r²
- Стала
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Сила, що діє на заряд
- F = q·E
Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Послідовні й паралельні резистори
- Послідовне з’єднання резисторів
- Req = R1 + R2 + …
- Паралельне з’єднання резисторів
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Два паралельно
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Закон Ома
- V = I·R
- Потужність
- P = V·I = I²R = V²/R
Метод
- Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
- Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Перемальовуйте коло після кожного кроку.
- Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.
Перехідні процеси RC і RL
- Стала часу
- τ = RC | τ = L/R
- Відгук
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Конденсатор на постійному струмі
- розрив; vC не може змінитися стрибком
- Котушка на постійному струмі
- коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
- Усталений режим
- t ≈ 5τ
Метод
- Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
- Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
- Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
- Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Магнітні поля та індукція
- Довгий прямий провідник
- B = μ0I/(2πr)
- Центр плоскої котушки
- B = μ0NI/(2R)
- Довгий соленоїд
- B = μ0nI, n = N/L
- Стала
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Сила, що діє на провідник
- F = BIL·sin θ
- Сила, що діє на заряд
- F = |q|vB·sin θ
- Рух по колу
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Паралельні провідники
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Потік
- Φ = BA·cos θ
- Закон Фарадея
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Рухомий стрижень
- ε = BLv
- Генератор
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Індуктивність
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Взаємна індуктивність
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Селектор швидкостей і спектрометр
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Метод
- Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
- Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
- Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
- Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.
Повний опір і комплексні амплітуди
- Повні опори
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Кутова частота
- ω = 2πf
- Модуль і кут
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Закон Ома в комплексній формі
- V = I·Z
Метод
- Переведіть частоту: ω = 2πf.
- Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
- Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
- Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.
2Задачі для практики
1.Закон Кулона й електричне полеСередня
Заряди +1 µC і +5 µC розташовані на відстані 40 cm. На якій відстані x від заряду +1 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?
q1 = +1 µCq2 = +5 µCd = 40 cm
x = cm
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
Дві однакові маленькі кульки масою 3 g кожна висять в одній точці на ізолювальних нитках завдовжки 40 cm. Їм надають однакових зарядів, і кожна нитка встановлюється під кутом 10° до вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть заряд q кожної кульки в nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 3 gL = 40 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.
V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
Req = Ω
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
Знайдіть еквівалентний опір Req, який бачить джерело V1.
V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 30 ΩR5 = 4 ΩR6 = 30 Ω
Req = Ω
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 5 ms.
Vs = 10 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms
i = A
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 3 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 400 ms.
Vs = 10 VR = 6,8 kΩC = 100 µFvC(0) = 3 Vt = 400 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
Квадратний контур рухається праворуч в область з однорідним магнітним полем, спрямованим у площину сторінки. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку, поки контур входить у поле.
B: у площину сторінкивходить у поле
- 1за годинниковою стрілкою
- 2проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
Струм в індукторі 50 мГн рівномірно змінюється від 4 А до 0 А за 2 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.
L = 50 mH4 A → 0 AΔt = 2 ms
ε = V
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
Резистор і котушку з’єднано паралельно й під’єднано до мережі 100 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mH
I = A
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть діюче значення напруги VC на конденсаторі.
V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 47 µF
VC = V
3Розчини
1.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: x = 12,36 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Однакові поля
1/x² = 5/(40 − x)²
(40 − x)/x = √(5/1) = 2,236
Положення
x = 40/(1 + 2,236) = 12,36 cm
Відповідь
x = 12,36 cm
Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.
2.Закон Кулона й електричне поле
Відповідь: q = 105,5 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Електрична сила з умови рівноваги
Горизонтальна складова сили натягу зрівноважує F, вертикальна — m·g.
F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 10° = 0,005189 N
Відстань між кульками
r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 10° = 0,1389 m
Заряд
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1389·√(0,005189/8,99 × 10⁹) = 1,055 × 10⁻⁷ C = 105,5 nC
Відповідь
q = 105,5 nC
3.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: Req = 10,97 Ω
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 10·23/(10+23) = 6,97 Ω
Req = R1 + 6,97 = 4 + 6,97 = 10,97 Ω
Відповідь
Req = 10,97 Ω
4.Послідовні й паралельні резистори
Відповідь: Req = 5,689 Ω
Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.
Об’єднуйте резистори з дальнього кінця
Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.
R5 + R6 = 4 + 30 = 34 Ω
R4 ∥ 34 = 15,94 Ω
R3 + 15,94 = 25,94 Ω
R2 ∥ 25,94 = 2,689 Ω
Req = R1 + 2,689 = 3 + 2,689 = 5,689 Ω
Відповідь
Req = 5,689 Ω
5.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: i = 0,2448 A
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Стала часу і кінцевий струм
Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.
τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms
i(∞) = Vs/R = 10/33 = 0,303 A
Струм у заданий момент
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,303·(1 − e−5/3,03) = 0,2448 A
Відповідь
i = 0,2448 A
6.Перехідні процеси RC і RL
Відповідь: vC = 6,113 V
Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.
Початкове значення, кінцеве значення, стала часу
Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.
vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 10 + (3 − 10)·e−t/τ
Напруга в заданий момент
vC(400) = 10 + (−7)·e−400/680 = 6,113 V
Відповідь
vC = 6,113 V
7.Магнітні поля та індукція
Відповідь: проти годинникової стрілки
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
Зміна потоку
Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.
Поле індукованого струму
Індукований струм протидіє зміні.
Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.
Напрямок струму
Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.
проти годинникової стрілки
Відповідь
проти годинникової стрілки
8.Магнітні поля та індукція
Відповідь: ε = 100 V
Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).
ЕРС самоіндукції
ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,05·4/0,002 = 100 V
Відповідь
ε = 100 V
9.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: I = 6,854 A
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивний опір
XL = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω
Струми віток
Обидві вітки під’єднано безпосередньо до мережі, тож на кожній повна напруга V.
IR = V/R = 100/15 = 6,667 A
IX = V/XL = 100/62,83 = 1,592 A
Загальний струм
Струм резистора збігається за фазою з V, а реактивний струм зсунутий на 90°, тож вони додаються як катети прямокутного трикутника.
I = √(IR² + IX²) = √(6,667² + 1,592²) = 6,854 A
Відповідь
I = 6,854 A
10.Повний опір і комплексні амплітуди
Відповідь: VC = 6,027 V
Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.
Реактивні опори
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω
Повний опір
Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (60,39)²) = 67,43 Ω
Струм
Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.
I = V/|Z| = 12/67,43 = 0,178 A
Напруга на конденсаторі
VC = I·XC = 0,178·33,86 = 6,027 V
Відповідь
VC = 6,027 V
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism