Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +6 µC і заряд −8 µC розташовані на відстані 40 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 24 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +6 µCq₂ = −8 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Заряди +5 µC і −5 µC розташовані на відстані 8 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 3 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −5 µCd = 8 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Знайдіть струм i у момент t = 2 ms.

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Таймер при t = 0 починає заряджати незаряджений конденсатор через резистор від джерела 5 V. Він має спрацювати, коли напруга на конденсаторі досягне 4 V, рівно через 200 ms після старту. При R = 10 kΩ знайдіть потрібну ємність C.

V_s = 5 VV_th = 4 VT = 200 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Протон рухається по колу в однорідному магнітному полі 0,25 T. Знайдіть час T одного оберту.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,25 T

T = ns

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Альфа-частинка починає рух зі стану спокою, прискорюється в різниці потенціалів 2500 В, а потім влітає в однорідне магнітне поле 0,8 Тл під прямим кутом. Знайдіть радіус r його траєкторії в полі.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,8 T

r = cm

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 50 V (діюче значення), 100 Hz. Знайдіть кут зсуву фаз φ повного опору в градусах (додатний, коли струм відстає від напруги).

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 2 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 3,746 × 10⁶ N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,24² = 936458 N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,16² = 2,809 × 10⁶ N/C

Напрямки й сума

Перше поле спрямоване від додатного заряду, друге — до від’ємного: обидва спрямовані в один бік.

E = |936458 + 2,809 × 10⁶| = 3,746 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 3,746 × 10⁶ N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 2,877 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(4² + 3²) = 5 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,05² = 1,798 × 10⁷ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,798 × 10⁷·0,8 = 2,877 × 10⁷ N/C

Відповідь

E = 2,877 × 10⁷ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 0,5736 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 15·22/(15+22) = 8,919 Ω

R_eq = R₁ + 8,919 = 12 + 8,919 = 20,92 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/20,92 = 0,5736 A

Відповідь

I_R1 = 0,5736 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,032 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 4 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 3,429 Ω

R₃ + 3,429 = 18,43 Ω

R₂ ∥ 18,43 = 3,933 Ω

R_eq = R₁ + 3,933 = 10 + 3,933 = 13,93 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/13,93 = 2,584 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 2,584·10 = 10,16 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,16/5 = 2,032 A

Відповідь

I_R2 = 2,032 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,2107 A

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0,3 A

Струм у заданий момент

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3·(1 − e^−2/1,65) = 0,2107 A

Відповідь

i = 0,2107 A

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: C = 12,43 µF

Потрібна стала часу

4 = 5·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(5/(5 − 4))

τ = 200/1,609 = 124,3 ms

Ємність

kΩ помножити на µF дає мілісекунди.

C = τ/R = 124,3/10 = 12,43 µF

Відповідь

C = 12,43 µF

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: T = 262,5 ns

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Період колового руху

Швидша частинка рухається по більшому колу, тож час одного оберту лишається незмінним.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,25) = 262,5 ns

Відповідь

T = 262,5 ns

Швидкість не потрібна: саме тому циклотрон може використовувати одну фіксовану частоту.

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: r = 1,273 cm

Швидкість після прискорення

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2500/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 491003 m/s

Радіус у полі

r = mv/(|q|B) = 0,01273 m = 1,273 cm

Відповідь

r = 1,273 cm

Разом: r = √(2mV/|q|)/B, тож важчі іони з тим самим зарядом рухаються по більших колах; так розділяють ізотопи.

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: φ = −83,95 °

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−566,4)²) = 569,5 Ω

Кут зсуву фаз

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−566,4/60) = −83,95°

Відповідь

φ = −83,95°

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 42,64 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,22·10⁻⁶) = 21320 rad/s

I = V/R = 2/10 = 0,2 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 21320·0,01 = 213,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·213,2 = 42,64 V

Відповідь

V_L = 42,64 V

Це в Q = 21,32 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism