Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряди +8 µC і +2 µC розташовані на відстані 20 cm. На якій відстані x від заряду +8 µC на прямій між ними напруженість електричного поля дорівнює нулю?

q₁ = +8 µCq₂ = +2 µCd = 20 cm

x = cm

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 1 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 4 µC — на відстані 5 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 4 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть еквівалентний опір R_eq, який бачить джерело V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

Через котушку тече сталий струм 2 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Знайдіть напругу v_R на R при t = 1 ms.

i(0) = 2 AR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ паралельно R₂ був замкнений тривалий час, тож струм котушки сталий. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть струм котушки i при t = 1 ms.

V_s = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Коловий контур лежить в однорідному магнітному полі, спрямованому зі сторінки. Індукція поля спадає. Клікніть напрямок індукованого струму в контурі, як на малюнку.

B: зі сторінкиdB/dt < 0

1за годинниковою стрілкою
2проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Котушка з 500 витків, 12 см × 10 см, обертається зі швидкістю 300 об/хв в однорідному полі 0,1 Тл навколо осі, перпендикулярної до поля. Знайдіть амплітудну ЕРС E₀.

N = 500A = 12 cm × 10 cmB = 0,1 Tn = 300 rpm

E₀ = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне коло RLC підключено до мережі 100 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть коефіцієнт потужності cos φ кола.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 10 µF

cos φ =

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Послідовне RLC-коло живиться від джерела 24 V (діюче значення), частоту якого встановлено рівною резонансній частоті кола. Знайдіть діюче значення напруги V_L на котушці.

V = 24 V (rms)R = 10 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: x = 13,33 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Однакові поля

8/x² = 2/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(2/8) = 0,5

Положення

x = 20/(1 + 0,5) = 13,33 cm

Відповідь

x = 13,33 cm

Точка з нульовим полем завжди ближча до меншого заряду.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 86,47 N

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

F₂ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N

Векторна сума

F = √(5,394² + 86,3²) = 86,47 N

Відповідь

F = 86,47 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: R_eq = 11,56 Ω

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 20 + 12 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 4·32/(4+32) = 3,556 Ω

R_eq = R₁ + 3,556 = 8 + 3,556 = 11,56 Ω

Відповідь

R_eq = 11,56 Ω

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 0,2413 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 4 + 30 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 10,41 Ω

R₃ + 10,41 = 25,41 Ω

R₂ ∥ 25,41 = 8,151 Ω

R_eq = R₁ + 8,151 = 20 + 8,151 = 28,15 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/28,15 = 0,3552 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,3552·20 = 2,895 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,895/12 = 0,2413 A

Відповідь

I_R2 = 0,2413 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_R = 32,7 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1,424 ms

Спадання струму

i(t) = 2·e^−1/1,424 = 0,9911 A

v_R = R·i = 33·0,9911 = 32,7 V

Відповідь

v_R = 32,7 V

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: i = 0,3893 A

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

До t = 0 замкнений ключ шунтує R₂; після цього в контурі обидва резистори, R₁ і R₂.

i(0) = 12/20 = 0,6 A

i(∞) = 12/(20 + 20) = 0,3 A

τ = L/R = 33/40 = 0,825 ms

i(t) = 0,3 + (0,6 − 0,3)·e^−t/τ

Струм у заданий момент

i(1) = 0,3 + (0,3)·e^−1/0,825 = 0,3893 A

Відповідь

i = 0,3893 A

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: проти годинникової стрілки

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку

Потік у площину сторінки зростає, або потік зі сторінки спадає.

Поле індукованого струму

Індукований струм протидіє зміні.

Індуковане поле всередині контуру: зі сторінки.

Напрямок струму

Правило правої руки: струм проти годинникової стрілки створює всередині контуру поле зі сторінки.

проти годинникової стрілки

Відповідь

проти годинникової стрілки

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: E₀ = 18,85 V

Кутова швидкість і площа

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

A = 0,012 m²

Амплітудна ЕРС

E₀ = NBAω = 500·0,1·0,012·31,42 = 18,85 V

Відповідь

E₀ = 18,85 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: cos φ = 0,3165

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

X_L = 78,54 Ω, X_C = 318,3 Ω

Повний опір

|Z| = √(80² + (−239,8)²) = 252,8 Ω

Коефіцієнт потужності

cos φ = R/|Z| = 80/252,8 = 0,3165

Коло ємнісне, тож коефіцієнт потужності ємнісний (струм випереджає).

Відповідь

cos φ = 0,3165

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: V_L = 723,6 V

Резонанс

При резонансі реактивні опори компенсуються, тож повний опір дорівнює просто R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 24/10 = 2,4 A

Напруга на котушці

X_L = ω₀L = 15076·0,02 = 301,5 Ω

V_L = I·X_L = 2,4·301,5 = 723,6 V

Відповідь

V_L = 723,6 V

Це в Q = 30,15 разів більше за напругу мережі.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism