Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона
F = k·|q1q2|/r²
Поле точкового заряду
E = k·|q|/r²
Стала
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд
F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів
Req = R1 + R2 + …
Паралельне з’єднання резисторів
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два паралельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Потужність
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
  2. Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Перемальовуйте коло після кожного кроку.
  4. Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу
τ = RC | τ = L/R
Відгук
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постійному струмі
розрив; vC не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі
коротке замикання; iL не може змінитися стрибком
Усталений режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
  2. Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
  3. Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
  4. Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник
B = μ0I/(2πr)
Центр плоскої котушки
B = μ0NI/(2R)
Довгий соленоїд
B = μ0nI, n = N/L
Стала
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник
F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд
F = |q|vB·sin θ
Рух по колу
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Потік
Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея
ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень
ε = BLv
Генератор
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Індуктивність
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Селектор швидкостей і спектрометр
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

  1. Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
  2. Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
  3. Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
  4. Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Кутова частота
ω = 2πf
Модуль і кут
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі
V = I·Z

Метод

  1. Переведіть частоту: ω = 2πf.
  2. Знайдіть кожен реактивний опір: XL = ωL і XC = 1/(ωC).
  3. Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
  4. Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня
++5 µC++8 µCr = 30 cm

Дві однакові маленькі металеві кульки мають заряди +5 µC і +8 µC. Їх доторкують одну до одної, а потім знову розміщують на відстані 30 cm. Знайдіть модуль сили F між ними тепер. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = +8 µCr = 30 cm
F = N
2.Закон Кулона й електричне полеСкладна
+−P2 × 3 cm8 cm+8 µC−8 µC

Заряди +8 µC і −8 µC розташовані на відстані 6 cm. Точка P лежить на серединному перпендикулярі на відстані 8 cm від середини відрізка між ними. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +8 µCq2 = −8 µCd = 6 cmh = 8 cm
E = N/C
3.Послідовні й паралельні резисториСередня
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.Послідовні й паралельні резисториСкладна
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 10 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

Знайдіть струм IR1, який віддає джерело і який тече через R1.

V1 = 9 VR1 = 3 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 ΩR4 = 6 ΩR5 = 25 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
5.Перехідні процеси RC і RLСередня
R = 50 Ωt = 0L22 mHi(t)

Через котушку тече сталий струм 2,5 A. При t = 0 ключ замикає контур через R і джерело від’єднується, тож струм котушки спадає через R. Скільки часу потрібно, щоб струм зменшився до 0,25 A? Знайдіть t.

i(0) = 2,5 AR = 50 ΩL = 22 mH
t = ms
6.Перехідні процеси RC і RLСкладна
+−Vs​10 Vt = 0R = 3,3 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Безпосередньо перед замиканням вимикача в момент t = 0 конденсатор має 2 V з указаною полярністю. Знайдіть напругу на конденсаторі vC у момент t = 250 ms.

Vs = 10 VR = 3,3 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 Vt = 250 ms
vC = V
7.Магнітні поля та індукціяСередня
nBA = 100 cm², N = 10B: 0 → 0,8 T

Котушка з 10 витків, площею 100 cm² і опором 2 Ом утворює замкнене коло. Однорідне поле, перпендикулярне до котушки, рівномірно зростає від 0 Тл до 0,8 Тл за 200 мс. Знайдіть середній індукований струм I.

N = 10A = 100 cm²B: 0 T → 0,8 TΔt = 200 msR = 2 Ω
I = mA
8.Магнітні поля та індукціяСкладна
I = 3 Al = 25 cmN = 800, ⌀ 1 cm

Довгий соленоїд без сердечника має 800 витків, довжину 25 см і діаметр 1 см. Знайдіть енергію W, запасену в його магнітному полі, коли він проводить 3 А.

N = 800l = 25 cm⌀ = 1 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = mJ
9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня
24 V50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4,7 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 24 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна
12 V50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 4,7 µFI

Послідовне коло RLC підключено до мережі 12 V (діюче значення), 50 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 4,22 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Заряд після дотику

q′ = (5 + 8)/2 = 6,5 µC

Нова сила

F = 8,99 × 10⁹·(6,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 4,22 N

Відповідь

F = 4,22 N

Тепер обидві кульки мають заряд одного знака, тож вони відштовхуються.

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 6,919 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Відстань і поле одного заряду

r = √(3² + 8²) = 8,544 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,08544² = 9,852 × 10⁶ N/C

Складові

Складові вздовж серединного перпендикуляра компенсуються.

E = 2·E1·(a/r) = 2·9,852 × 10⁶·0,3511 = 6,919 × 10⁶ N/C

Відповідь

E = 6,919 × 10⁶ N/C

Поле спрямоване паралельно прямій від додатного заряду до від’ємного.

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 1,463 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R3 + R4 = 4 + 3 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 3·7/(3+7) = 2,1 Ω
Req = R1 + 2,1 = 2 + 2,1 = 4,1 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 6/4,1 = 1,463 A

Відповідь

IR1 = 1,463 A
4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: IR1 = 0,6885 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​9 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​12 Ω

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R5 + R6 = 25 + 12 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 5,163 Ω
R3 + 5,163 = 15,16 Ω
R2 ∥ 15,16 = 10,07 Ω
Req = R1 + 10,07 = 3 + 10,07 = 13,07 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише Req, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/13,07 = 0,6885 A

Відповідь

IR1 = 0,6885 A
5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,013 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms

Виразіть час

0,25 = 2,5·e−t/τ → t = τ·ln(2,5/0,25)
t = 0,44·ln(10) = 1,013 ms

Відповідь

t = 1,013 ms
6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: vC = 6,25 V

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Початкове значення, кінцеве значення, стала часу

Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком, тож вона починає з накопиченого значення й прямує до напруги джерела.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 100 µF = 330 ms
vC(t) = 10 + (2 − 10)·e−t/τ

Напруга в заданий момент

vC(250) = 10 + (−8)·e−250/330 = 6,25 V

Відповідь

vC = 6,25 V
7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: I = 200 mA

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Зміна потоку на виток

ΔΦ = (0,8 − 0)·0,01 = 0,008 Wb

Середня ЕРС

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,008/0,2 = 0,4 V

Струм

I = ε/R = 0,4/2 = 0,2 A

Відповідь

I = 200 mA
8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: W = 1,137 mJ

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

Самоіндукція

L = μ₀N²A/l = 252,7 µH

Накопичена енергія

W = ½LI² = ½·0,0002527·3² = 0,001137 J = 1,137 mJ

Відповідь

W = 1,137 mJ
9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,03893 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−614,4)²) = 616,5 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 24/616,5 = 0,03893 A

Відповідь

I = 0,03893 A
10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 0,01769 A

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Реактивні опори

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Повний опір

Послідовно повні опори додаються як комплексні числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−671)²) = 678,4 Ω

Струм

Через кожен елемент послідовного кола тече той самий струм.

I = V/|Z| = 12/678,4 = 0,01769 A

Відповідь

I = 0,01769 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism