Фізика 2: Електрика й магнетизм: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Закон Кулона й електричне поле

Закон Кулона: F = k·|q₁q₂|/r²
Поле точкового заряду: E = k·|q|/r²
Стала: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Сила, що діє на заряд: F = q·E

Послідовні й паралельні резистори

Послідовне з’єднання резисторів: R_eq = R₁ + R₂ + …
Паралельне з’єднання резисторів: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Два паралельно: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Закон Ома: V = I·R
Потужність: P = V·I = I²R = V²/R

Метод

Почніть з кінця мережі, найдальшого від затискачів.
Послідовні резистори об’єднуйте додаванням, паралельні — за 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Перемальовуйте коло після кожного кроку.
Повторюйте, доки між затискачами не залишиться один резистор.

Перехідні процеси RC і RL

Стала часу: τ = RC | τ = L/R
Відгук: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Конденсатор на постійному струмі: розрив; v_C не може змінитися стрибком
Котушка на постійному струмі: коротке замикання; i_L не може змінитися стрибком
Усталений режим: t ≈ 5τ

Метод

Знайдіть початкове значення одразу після комутації: напруга на конденсаторі й струм через котушку не можуть змінитися стрибком.
Знайдіть кінцеве значення через довгий час після комутації: конденсатор поводиться як розрив, котушка — як коротке замикання.
Знайдіть сталу часу: τ = RC або τ = L/R, використовуючи опір з боку конденсатора чи котушки.
Використайте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Магнітні поля та індукція

Довгий прямий провідник: B = μ₀I/(2πr)
Центр плоскої котушки: B = μ₀NI/(2R)
Довгий соленоїд: B = μ₀nI, n = N/L
Стала: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Сила, що діє на провідник: F = BIL·sin θ
Сила, що діє на заряд: F = |q|vB·sin θ
Рух по колу: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Паралельні провідники: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Потік: Φ = BA·cos θ
Закон Фарадея: ε = −N·ΔΦ/Δt
Рухомий стрижень: ε = BLv
Генератор: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Індуктивність: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Взаємна індуктивність: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Селектор швидкостей і спектрометр: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Метод

Переведіть кожну величину в одиниці СІ: см у м, см² у м², мТл і мкТл у Тл.
Оберіть правильну формулу: B = μ₀I/(2πr) для провідника, μ₀NI/(2R) для центра котушки, μ₀nI всередині соленоїда; F = BIL·sin θ або |q|vB·sin θ для сил.
Для індукції знайдіть зміну потоку ΔΦ = Δ(BA·cos θ) і користуйтеся ε = N·ΔΦ/Δt, або ε = BLv для рухомого стрижня та NBAω для обертової котушки.
Знаходьте напрямки окремо за правилами правої руки, а для індукованих струмів — за правилом Ленца.

Повний опір і комплексні амплітуди

Повні опори: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Кутова частота: ω = 2πf
Модуль і кут: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексній формі: V = I·Z

Метод

Переведіть частоту: ω = 2πf.
Знайдіть кожен реактивний опір: X_L = ωL і X_C = 1/(ωC).
Додавайте опори як резистори, з Z = R + jX.
Знайдіть модуль |Z| = √(R² + X²) і кут φ = atan(X/R), потім застосуйте закон Ома для комплексних амплітуд.

2Задачі для практики

1.Закон Кулона й електричне полеСередня

Заряд +8 µC і заряд +4 µC розташовані на відстані 50 cm один від одного. Точка P лежить на прямій між ними на відстані 25 cm від першого заряду. Знайдіть модуль напруженості електричного поля E у точці P.

q₁ = +8 µCq₂ = +4 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Закон Кулона й електричне полеСкладна

Три додатні точкові заряди розташовані у вершинах прямокутного трикутника: q₃ = 6 µC — у вершині прямого кута, q₁ = 5 µC — на відстані 6 cm від неї вздовж одного катета, q₂ = 8 µC — на відстані 10 cm від неї вздовж другого катета. Знайдіть модуль результуючої електричної сили F, що діє на q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 8 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Послідовні й паралельні резисториСередня

Знайдіть струм I_R2 через R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Послідовні й паралельні резисториСкладна

Знайдіть струм I_R1, який віддає джерело і який тече через R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Перехідні процеси RC і RLСередня

До замикання вимикача в момент t = 0 струму через котушку немає. Через який час після замикання вимикача струм досягне 90% кінцевого значення? Знайдіть t.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 22 mH

t = ms

6.Перехідні процеси RC і RLСкладна

Ключ був замкнений тривалий час, тож коло в усталеному режимі. При t = 0 ключ розмикається. Знайдіть напругу на конденсаторі v_C у момент t = 1000 ms.

V_s = 10 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 100 µFt = 1000 ms

v_C = V

7.Магнітні поля та індукціяСередня

Альфа-частинка, що рухається зі швидкістю 2,5 × 10⁵ м/с, влітає в однорідне магнітне поле під прямим кутом і рухається по колу радіусом 1,296 см. Знайдіть магнітну індукцію B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁵ m/sr = 1,296 cm

B = T

8.Магнітні поля та індукціяСкладна

Струм в індукторі 20 мГн рівномірно змінюється від 1 А до 2 А за 2 мс. Знайдіть модуль ЕРС самоіндукції ε.

L = 20 mH1 A → 2 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Повний опір і комплексні амплітудиСередня

Послідовне RLC-коло з L = 100 mH має резонувати на частоті 500 Hz. Знайдіть потрібну ємність C.

f₀ = 500 HzL = 100 mH

C = µF

10.Повний опір і комплексні амплітудиСкладна

Резистор R₁ увімкнено послідовно з паралельним з’єднанням R₂ і конденсатора C; коло під’єднано до мережі 230 V (діюче значення), 500 Hz. Знайдіть діюче значення струму I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 60 ΩC = 10 µF

I = A

3Розчини

1.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: E = 575360 N/C

Закон Кулона: два точкові заряди притягуються або відштовхуються із силою F = k·|q₁·q₂|/r², де k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Напруженість поля точкового заряду E = k·|q|/r²; поле спрямоване від додатного заряду й до від’ємного. Сили й поля від кількох зарядів додаються як вектори.

Поле кожного заряду

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,25² = 1,151 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,25² = 575360 N/C

Напрямки й сума

Обидва заряди додатні: у точці P їхні поля спрямовані від відповідного заряду, тобто в протилежні боки.

E = |1,151 × 10⁶ − 575360| = 575360 N/C

Відповідь

E = 575360 N/C

2.Закон Кулона й електричне поле

Відповідь: F = 86,46 N

Кожна сила, що діє на q₃

F₁ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

F₂ = k·8·6 × 10⁻¹²/0,1² = 43,15 N

Векторна сума

F = √(74,92² + 43,15²) = 86,46 N

Відповідь

F = 86,46 N

3.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R2 = 2,174 A

Послідовне й паралельне з’єднання: послідовно через кожен резистор тече той самий струм і R = R₁ + R₂ + …. Паралельно на кожному резисторі та сама напруга і 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Драбинчасту мережу спрощують по одній парі, доки не залишиться один еквівалентний опір.

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

Почніть із кінця, найдальшого від джерела, і рухайтеся до нього. Резистори з однаковим струмом з’єднані послідовно; резистори між тими самими двома вузлами — паралельно.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω

R_eq = R₁ + 2,308 = 3 + 2,308 = 5,308 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/5,308 = 2,826 A

Струм через R₂

Відніміть спад на R₁, щоб отримати напругу у вузлі A, тобто напругу на R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2,826·3 = 6,522 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,522/3 = 2,174 A

Відповідь

I_R2 = 2,174 A

4.Послідовні й паралельні резистори

Відповідь: I_R1 = 1,052 A

Об’єднуйте резистори з дальнього кінця

R₅ + R₆ = 30 + 4 = 34 Ω

R₄ ∥ 34 = 7,727 Ω

R₃ + 7,727 = 19,73 Ω

R₂ ∥ 19,73 = 8,521 Ω

R_eq = R₁ + 8,521 = 20 + 8,521 = 28,52 Ω

Струм джерела

Джерело бачить лише R_eq, тож закон Ома дає струм, який воно віддає. Цей струм тече через R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/28,52 = 1,052 A

Відповідь

I_R1 = 1,052 A

5.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: t = 1,013 ms

Перехідні процеси першого порядку: у колі з одним конденсатором або однією котушкою кожна напруга й кожен струм експоненційно змінюються від початкового до кінцевого значення: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, де τ = RC або τ = L/R. Приблизно через 5τ коло виходить на усталений режим.

Стала часу і кінцевий струм

Через тривалий час після замикання котушка поводиться як коротке замикання, тож кінцевий струм визначає лише R.

τ = L/R = 22 mH / 50 Ω = 0,44 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Виразіть час

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −0,44·ln(0,1) = 1,013 ms

Відповідь

t = 1,013 ms

6.Перехідні процеси RC і RL

Відповідь: v_C = 0,5956 V

Початкова напруга на конденсаторі

В усталеному режимі конденсатор — розрив кола, тож R₁ і R₂ утворюють подільник напруги. Напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком у момент розмикання ключа.

v_C(0) = 10·4,7/(4,7 + 4,7) = 5 V

Стала часу після розмикання ключа

τ = R₂·C = 4,7·100 = 470 ms

Розряджання

v_C(t) = 5·e^−1000/470 = 0,5956 V

Відповідь

v_C = 0,5956 V

7.Магнітні поля та індукція

Відповідь: B = 0,4001 T

Магнітні сили: на прямий провідник зі струмом I у полі B діє F = BIL·sin θ, а на рухомий заряд — F = |q|vB·sin θ, де θ — кут між струмом (або швидкістю) і B. Сила перпендикулярна до обох: спрямуйте пальці правої руки вздовж I або v, зігніть їх до B, і великий палець покаже F для додатного заряду; для від’ємного заряду напрямок змініть на протилежний. Оскільки F перпендикулярна до v, заряд, що рухається впоперек однорідного поля, описує коло: |q|vB = mv²/r дає r = mv/(|q|B) і період T = 2πm/(|q|B), який не залежить від швидкості. Два паралельні провідники притягуються, коли струми мають однаковий напрямок: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Поле за радіусом

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,01296) = 0,4001 T

Відповідь

B = 0,4001 T

8.Магнітні поля та індукція

Відповідь: ε = 10 V

Електромагнітна індукція: потік крізь контур дорівнює Φ = BA·cos θ, де θ — кут між B і нормаллю до контуру. Закон Фарадея: зміна потоку індукує в котушці з N витків ЕРС = −N·dΦ/dt, а правило Ленца стверджує, що індукований струм тече так, щоб його власне поле протидіяло зміні. Стрижень, що рухається впоперек поля, дає ЕРС = BLv. Котушка, що обертається з ω, дає e = NBAω·sin ωt з амплітудою NBAω. Самоіндукція: ЕРС = −L·di/dt, де L = μ₀N²A/l для довгого соленоїда, а запасена енергія W = ½LI². Дві зв’язані котушки: ЕРС₂ = −M·di₁/dt, де M = k√(L₁L₂).

ЕРС самоіндукції

ЕРС протидіє зміні струму (Ленц), тож її знак протилежний до ΔI; величина дорівнює L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,02·1/0,002 = 10 V

Відповідь

ε = 10 V

9.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: C = 1,013 µF

Кола змінного струму й комплексний метод: резистори, котушки й конденсатори мають повні опори R, jωL і 1/(jωC), де ω = 2πf. Послідовно повні опори додаються як опори, але як комплексні числа. Діючі значення струму й напруги підкоряються закону Ома з |Z|.

Умова резонансу

При резонансі індуктивний і ємнісний опори взаємно компенсуються: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,1) = 1,013 µF

Відповідь

C = 1,013 µF

10.Повний опір і комплексні амплітуди

Відповідь: I = 3,919 A

Реактивний опір

X_C = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Паралельне з’єднання

Помножте чисельник і знаменник на комплексно спряжене, щоб розділити Z_p на дійсну й уявну частини.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 13,18 − j24,84 Ω

Повний опір

Z = 40 + 13,18 − j24,84 = 53,18 − j24,84 Ω

|Z| = √(53,18² + 24,84²) = 58,69 Ω

Струм

I = V/|Z| = 230/58,69 = 3,919 A

Відповідь

I = 3,919 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism